EXATAS

  ITA 2020 A cada aniversário, seu bolo tem uma quantidade de velas igual à sua idade. As velas são vendidas em pacotes com 12 unidades e todo ano é comprado apenas um novo pacote. As velas remanescentes são guardadas para os anos seguintes, desde o seu primeiro aniversário. Qual a sua idade, em anos, no primeiro ano em que as velas serão insuficientes? A (  ) 12 B (  ) 23 C (  ) 24 D (  ) 36 E (  ) 38 Gabarito: C Resolução: O número de velas compradas a cada ano é igual a 12 i  e o número de velas usadas por ano corresponde a uma PA de razão 1. A idade  i , em anos, no primeiro ano em que as velas serão insuficientes é dada pela seguinte desigualdade: i.(i + 1)/2 > 12i i.(i + 1) > 24i i + 1 > 24 i > 23 \ i = 24

Os pontos B = (1, 1 + 6  ) e C = (1 + 6  , 1) são vértices do triângulo isósceles  ABC  de base  BC , contido no primeiro quadrante. Se o raio da circunferência inscrita no triângulo mede 3, então as coordenadas do vértice  A  são A (  )  B (  )  C (  )  D (  )  E (  )  Gabarito: C Resolução: O ponto médio da base  BC  é dado por M = (1 + 1 + 6√2)/2 , (1 + 6√2 + 1)/2 M = (2 + 6√2)/2 , (2 + 6√2)/2 M = (1 + 3√2; 1 + 3√2) Uma vez que as coordenadas de  M  são iguais, esse ponto pertence à reta  y = x  e, dado que o triângulo  ABC  é isósceles com base  BC , a reta  y = x  também contém o ponto  A . O segmento BC corresponde à diagonal de um quadrado de lado 6√2, ou seja BC = l√2 BC = 6√2√2 BC = 6√4 BC = 6.2 BC = 12 Aplicando-se teorema de Pitágoras ao triângulo ADE: (AE) 2  = (AD) 2  + (DE) 2 (AE) 2  = (AD) 2  + (3) 2 (AD) 2  = (AE) 2  – 9 AD = √[(AE) 2  – 9] Fazendo-se semelhança entre os triângulos AMC e ADE: DE/MC = AD/AM 3/6 = √[(