EXATAS

  Unicamp 2020 Unicamp  Considere que   é uma progressão aritmética de números reais, e que a soma de seus elementos é igual a 8. O produto dos elementos dessa progressão é igual a a) 30. b) 10. c)  . d)  .   Gabarito: C Resolução: O terceiro termo da PA é a média aritmética do segundo e do quarto termo. Temos, portanto: (a – r)  + ( a  +  r ) / 2 = 3 2a  = 6 a  = 3 Fazendo-se  a, b , 3 e  c , respectivamente iguais a a – 2r, a – r e a + r, e sabendo-se que a soma dos 4 termos dessa PA é igual a 8 S 4  = ( a  +  b  + 3 +  c ) 8 = ( 3 – 2r)  +  (3 – r)  + 3 ( 3  +  r ) 8 = 9  – 2r  + 3 r  = 2 Assim,  a, b , e  c  são, respectivamente, –1, 1 e 5 e o produto dos elementos da progressão –1, 1, 3 e 5 é igual a P = –1 . 1 . 3 . 5 P = –15

A figura a seguir exibe a planificação de um poliedro convexo, com faces triangulares congruentes e faces retangulares, em que são indicados os comprimentos ?, ? e ?. a) Determine o número de vértices e de arestas desse poliedro. b) Para ? = 13 ??, ? = 16 ?? e ? = 10 ??, calcule o volume desse poliedro. Gabarito: (Resolução oficial.) a) De acordo com o enunciado, como as faces triangulares são congruentes e um poliedro é convexo, temos a representação espacial exibida na figura a seguir. Temos, então, um total de 9 vértices e 16 arestas. b) O volume do poliedro pode ser calculado pela soma do volume de um paralelepípedo com o volume de uma pirâmide. O volume do paralelepípedo é dado por b × c × c = 16 × 10 × 10 = 1600 cm 3 . Para calcular o volume da pirâmide, devemos primeiramente determinar sua altura. Observando a figura a seguir, em que h é o comprimento da altura, e aplicando o teorema de Pitágoras, temos h 2  + (c/2) 2  = a 2 , ou seja, h 2  = 13 2  – 5 2  = 169 – 2

Aproxime   = 3,0 sempre que necessário. Em analogia com um circuito elétrico, a transpiração foliar é regulada pelo conjunto de resistências (medidas em segundos/metro) existentes na rota do vapor-d’água entre os sítios de evaporação próximos à parede celular no interior da folha e a atmosfera. Simplificadamente, há as resistências dos espaços intercelulares de ar (r eia ), as induzidas pela presença dos estômatos (r est ) e da cutícula (r cut ) e a promovida pela massa de ar próxima à superfície das folhas (r cl ). O esquema a seguir representa as resistências mencionadas. A tabela a seguir apresenta os valores das resistências de duas espécies de plantas (espécie 1 e espécie 2). Tendo em vista os dados apresentados e considerando que a condutância é o inverso da resistência, assinale a alternativa que indica a espécie com menor transpiração e sua respectiva condutância total à difusão do vapor-d’água entre os sítios de evaporação e a atmosfera. a) espécie 1; 48 x 10 -4  m/

Relês são dispositivos eletromecânicos usados para abrir e fechar contatos elétricos através da deflexão de uma lâmina metálica (armadura) que é atraída pelo campo magnético gerado por uma bobina, conforme ilustra a Figura A. a) No relê da Figura A, a constante elástica da mola presa à armadura é k = 1500 N/m. Quando a bobina é ligada, qual é a energia potencial da mola, se ela for distendida de  x = 0,8 mm em relação à sua posição de equilíbrio? b) Resistores LDR (Resistor Dependente de Luz) apresentam alta resistência elétrica na ausência de luz, e baixa resistência quando iluminados. Um uso frequente desses resistores se verifica no acionamento de relês. A Figura B fornece a resistência do LDR do circuito da Figura C em função da intensidade luminosa. Qual é a tensão no LDR quando a intensidade de luz solar nele incidente é igual a I = 0,5 W/m 2 ? Gabarito: (Resolução oficial.)  a)   b) Do gráfico, para I = 0,5W/m 2  ? R LDR  = 7,0k

As vidraças de um arranha-céu em Londres, conhecido como “Walkie Talkie”, reproduzem a forma de um espelho côncavo. Os raios solares refletidos pelo edifício provocaram danos em veículos e comércios próximos. a) Considere um objeto em frente e ao longo do eixo do espelho côncavo de raio de curvatura R = 1,0 m, conforme mostra a figura a seguir. Complete os raios luminosos nela. Em seguida, calcule a distância d do objeto ao vértice do espelho (ponto O), de forma que a intensidade de raios solares, incidentes paralelamente ao eixo do espelho, seja máxima na posição do objeto. b) Um objeto metálico de massa m = 200 g e calor específico c = 480 J/(kg.ºC) absorve uma potência P = 60 W de radiação solar focalizada por um espelho côncavo. Desprezando as perdas de calor por radiação, condução e convecção, calcule a variação de temperatura do objeto após  t = 32 s de exposição a essa radiação. Gabarito: (Resolução oficial.) a) A intensidade será máxima na posição do foco do espel

A figura a seguir exibe, no plano cartesiano, o gráfico de   para  , em que os pontos A e B têm abscissas ? A  = ? > 0 e ? B  = ? > ?, e ? é a origem do sistema de coordenadas. a) Prove que os pontos ?, ? e ? = (  , 0) são colineares. b) Para ? = 3, determine o valor de ? para o qual a distância da origem ao ponto ? é igual à distância do ponto ? ao ponto ?. Gabarito: (Resolução oficial.) a) Como os pontos A e B pertencem ao gráfico de  , eles têm coordenadas A = (a,  ) e B = (b,  ). Para provar que os pontos A, B e C são colineares basta verificar que o determinante da matriz   é nulo. Assim,  . b) A distância da origem O = (0,0) ao ponto A = (a,  ) é igual a e a distância do ponto A = (a, ) ao ponto B = (b, ) = (3, ) é igual a Assim, se d OA  = d AB , temos também que (d OA ) 2  = (d AB ) 2  e, portanto, a 2  + a = (a – 3) 2  +  Assim, a 2  + a = a 2  – 6a + 9 + a -   + 3, ou seja, 6a + 2  – 12 = 0. Dividindo essa equação por 2 e definindo c =  , obtem

A figura abaixo exibe um triângulo isósceles com dois lados de comprimento   e um dos ângulos internos igual a  , em que  . a) Calcule a área desse triângulo. b) Determine o comprimento do raio da circunferência circunscrita a esse triângulo.   a) Sendo h o comprimento da altura em relação a um dos lados de comprimento a, temos sen   = h/a e, portanto, a área do triângulo pode ser calculada como  . Como 0 <   < 180º, da equação fundamental (sen  ) 2  + (cos  ) 2  = 1, temos  b) Observe a figura a seguir, em que O é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo e r é o comprimento de raio dessa circunferência. Aplicando a lei dos Cossenos, temos a 2  = r 2  + r 2  – 2xr . r .  . Como  , então temos a 2  = 2r 2  + 2r 2  .   = 2r 2 (1 +  ). Logo, obtemos a equação 25 = 2r 2 (1 + 3/5) = 16/5r 2  e, portanto, r 2  = 125/16, ou seja,  .   . Assim, a área é igual a  .