EXATAS

Fuvest2019-1  Um dono de restaurante assim descreveu a evolução do faturamento quinzenal de seu negócio, ao longo dos dez primeiros meses após a inauguração: “Até o final dos três primeiros meses, tivemos uma velocidade de crescimento mais ou menos constante, quando então sofremos uma queda abrupta, com o faturamento caindo à metade do que tinha sido atingido. Em seguida, voltamos a crescer, igualando, um mês e meio depois dessa queda, o faturamento obtido ao final do terceiro mês. Agora, ao final do décimo mês, estamos estabilizando o faturamento em um patamar 50% acima do faturamento obtido ao final do terceiro mês”. Considerando que, na ordenada, o faturamento quinzenal está representado em unidades desconhecidas, porém uniformemente espaçadas, qual dos gráficos é compatível com a descrição do comerciante? a)  b)  c)  d)  e)  Gabarito: E Resolução: De acordo com o enunciado, se até o final dos três primeiros meses, a velocidade de crescimento foi mais ou menos constante, a inclinaçã

Unicamp2019-1 Os preços que aparecem no cardápio de um restaurante já incluem um acréscimo de 10% referente ao total de impostos. Na conta, o valor a ser pago contém o acréscimo de 10% relativo aos serviços (gorjeta). Se o valor total da conta for p reais, o cliente estará desembolsando pelo custo original da refeição, em reais, a quantia de a) p/1,20. b) p/1,21. c) p × 0,80. d) p × 0,81. Gabarito: B Resolução: Admitindo que o preço da refeição sem acréscimo seja P, ao adicionarmos 10% de impostos, esse valor passa a 1,1P em ao adicionarmos 10% de gorjetas, passa a 1,21P: • P + (10/100)·P = 1,1/P • 1,1.P + (10/100)·1,1·P = 1,21·P Se o valor da conta for  p  reais, o cliente estará desembolsando pelo custo original da refeição, em reais, a quantia de p = 1,21·P P = p/1,21

Unesp2019-1 Em um dia de aula, faltaram 3 alunas e 2 alunos porque os cinco estavam gripados. Dos alunos e alunas que foram à aula, 2 meninos e 1 menina também estavam gripados. Dentre os meninos presentes à aula, a porcentagem dos que estavam gripados era 8% e, dentre as meninas, a porcentagem das que estavam gripadas era 5%. Nos dias em que a turma está completa, a porcentagem de meninos nessa turma é de a) 52%. b) 50%. c) 54%. d) 56%. e) 46%. Gabarito: C Resolução: Dado que 2 meninos gripados foram à aula e que esse número corresponde a 8% dos presentes em sala, temos: 2 meninos — 8% M 1  — 100% M 1  = 25 meninos De forma similar, se 1 menina corresponde a 5%, o total de meninas em sala é de: 1 menina — 5% M 1  — 100% M 1  = 20 meninas O total de alunos, considerando também os que não foram à aula, é igual a: - total de meninos = 25 + 2 = 27 - total de meninas = 20 + 3 = 23 - total de alunos = 27 + 23 = 50 Assim, a porcentagem de meninos presentes na turma é de: 50 alunos — 100% 27

Fuvest2020-1  Se, em 15 anos, o salário-mínimo teve um aumento nominal de 300% e a inflação foi de 100%, é correto afirmar que o aumento real do salário-mínimo, nesse período, foi de (A) 50%. (B) 100%. (C) 150%. (D) 200%. (E) 250%. Gabarito: B Resolução: Admitindo-se que o salário-mínimo inicial tivesse valor SM ini , um aumento nominal de 300% levaria esse valor a um valor final de SM fin  = SM ini  + 3SM ini SM fin  = 4SM ini Porém, uma vez que a inflação foi de 100% no mesmo período, o custo de vida deveria ser dobrado e, uma vez que o salário foi quadruplicado, o aumento real do salário-mínimo, nesse período, corresponde ao dobro do aumento do custo de vida, ou seja, foi de 100%.

  UNIVERSIDADE DO ESTADO DE PERNAMBUCO (UPE) É muito comum perceber os anúncios de grandes promoções em lojas do comércio em geral. Mesmo com a promoção, o lucro para o revendedor é garantido. Numa dessas promoções, uma loja ofereceu 40% de desconto sobre o preço de venda de uma geladeira, havendo, ainda assim, um lucro de 20% sobre o preço de custo desse produto. Caso não tivesse dado esse desconto, qual teria sido o lucro dessa loja ao vender essa geladeira? a) 40% b) 50% c) 60% d) 80% e) 100% Gabarito: E Resolução: Seja x o preço de custo e y o preço de venda desse produto. Se a loja está oferecendo 40% de desconto sobre o preço de venda, é por que o novo preço é 60% do original, ou 0,6y. Se esse novo preço representa um lucro de 20% sobre o preço de custo, é por que ele vale 120% desse preço, ou 1,2x. Logo, temos 0,6y = 1,2x y = 1,2x/0,6 =2x Então ó preço de venda original é 2 vezes o preço de custo, ou seja, 200% desse preço. Isso indica um lucro de 100%.

Dois tipos de exames para a detecção de certo vírus foram aplicados em um grupo de 80 pacientes, dos quais, com certeza, 60 são portadores desse vírus e 20 não são. Os resultados dos exames estão organizados nas tabelas a  seguir.   EXAME 1 PORTADOR NÃO PORTADOR TOTAL RESULTADO POSITIVO 42 06 48 RESULTADO NEGATIVO 18 14 32   EXAME 2 PORTADOR NÃO PORTADOR TOTAL RESULTADO POSITIVO 56 07 63 RESULTADO NEGATIVO 04 13 17   Note que em cada exame ocorrem tanto falsos positivos (pacientes não portadores do vírus com resultado positivo no exame) quanto falsos negativos (pacientes portadores do vírus com resultado negativo no exame). a) Calcule a porcentagem de pacientes portadores do vírus no grupo em estudo. b) Considerando os resultados positivos em cada exame, qual dos dois exames tem a menor porcentagem de falsos positivos? Justifique sua resposta.   Gabarito: (Resolução oficial.) a) De acordo com o enunciado dos 80 pacientes, 60 são portadores do vírus. Logo a porcentagem de pacientes port

Dado a ∈  , defina   p = a + a 2   e   q = a + a 3   e considere as seguintes afirmações: I. se  p  ou  q  é irracional, então  a  é irracional. II. se  p  e  q  são racionais, então  a  é racional. III. se  q  é irracional, então  p  é irracional. É(são) VERDADEIRA(S) A (  ) apenas I. B (  ) apenas II. C (  ) apenas I e II. D (  ) apenas I e III. E (  ) todas. Gabarito: C Resolução: I: verdadeira; se  a  for racional,  a 2   e  a 3  são racionais também e, portanto, para que  p  ou  q  sejam irracionais, é necessário que  a  seja irracional também. II: verdadeira; ao efetuarmos a soma  p + q  obtemos p + q = a + a 2  + a + a 3 p + q = a 3 + a 2  + 2a p + q = a(a 2 + a + 2) p + q = a(p + 2) a = (p + q)/(p + 2) A partir da expressão anterior, temos que, se  p  e  q  são racionais, então  a  é racional também. III: falsa; admitindo-se que  p = 1 a 2  + a = 1 a 2  + a – 1 = 0 Essa equação tem raízes ( –1±√5)/2  e, nesse caso,  q  é irracional, ou seja, se se  q  é irracional, então  p  nã

A expansão decimal do número 100! = 100 . 99 … 2 . 1 possui muitos algarismos iguais a zero. Contando da direita para a esquerda, a partir do dígito das unidades, o número de zeros, que esse número possui antes de um dígito não nulo aparecer, é igual a A (  ) 20 B (  ) 21 C (  ) 22 D (  ) 23 E (  ) 24 Gabarito: E Resolução: O número de algarismos iguais a zero na expansão decimal do número  100!  corresponde ao número de pares do produto  5.2  e, considerando-se que no número  100!  existem 16 múltiplos de 5, e e 4 múltiplos de 25, sendo que não existem múltiplos de 5 n  quando n ≥3. Assim, existem F 5  = 16 + (4 . 2) F 5  = 24 fatores 5 e, uma vez que existem mais fatores 2 do que fatores 5, o número de fatores 5 é o limitante para o número de zeros, de forma que contando da direita para a esquerda, a partir do dígito das unidades, o número de zeros que esse número possui antes de um dígito não nulo aparecer, é igual a 24.

Bill Waterson , Calvin and Hobbes. Disponível em:<https://www.gocomics.com/>. As possíveis soluções, em polegadas ( inches , em inglês), para o problema matemático proposto no quadrinho, no caso em que os pontos  A ,  B  e  C  estão em uma mesma reta, são (A) 10/3 e 10. (B) 10/3, 5 e 10. (C) 5/3, 10/3 e 10. (D) 5/3 e 10. (E) 10/3 e 5.   Gabarito: A Resolução: De acordo com o quadrinho, o ponto A é duas vezes mais distante do ponto C do que o ponto B é do ponto A. Se a distância do ponto B ao ponto C é 5 polegadas, a distância do ponto A ao ponto C – admitindo-se que A e C estejam nos extremos de um segmento, temos: AC = AB + AC = 2BC = 2BC AC = 2 . 5 AC = 10 polegadas; – admitindo-se que B e C estejam nos extremos de um segmento, temos: BC = BA + AC BC = BA + 2BA 5 = 3BA BA = 5/3 polegadas e, portanto, AC = 2BA = 10/3.

  Estudos indicam que uma massa m = 1000 kg de poeira cósmica, composta por minúsculas partículas, colide com a superfície da Terra a cada intervalo  t = 20 min. Considere, para simplificar, que as partículas de poeira têm velocidade média nula antes de serem arrastadas pela Terra no seu movimento em torno do Sol. Logo após colidirem com a superfície do nosso planeta, elas passam a se deslocar juntamente com a Terra, com velocidade média de módulo igual a v Terra   = 30 km/s. Considere também que o movimento da Terra num intervalo  t = 20 min é retilíneo e uniforme. a) Qual é a densidade da poeira na região do espaço atravessada pela Terra? Ver ilustração a seguir. b) Qual é o módulo da força média aplicada pela Terra sobre a massa de poeira cósmica que ela intercepta durante um intervalo  t = 20 min?

 UFPR A equação que descreve o espectro de radiação emitido por um corpo negro foi descoberta por Max Planck em 1900, sendo posteriormente chamada de Lei da Radiação de Planck. Ao deduzir essa equação, Planck teve que fazer a suposição de que a energia não poderia ter um valor qualquer, mas que deveria ser um múltiplo inteiro de um valor mínimo. O gráfico mostra a intensidade relativa da radiação emitida por um corpo negro em função do comprimento de onda para três diferentes temperaturas. A região visível do espectro compreende os comprimentos de onda entre 390 nm e 780 nm, aproximadamente, que correspondem às cores entre o violeta e o vermelho. Com base nessas informações e no gráfico, considere as seguintes afirmativas: 1. A Lei da Radiação de Planck depende da temperatura do corpo negro e do comprimento de onda da radiação emitida. 2. O princípio de funcionamento de uma lâmpada incandescente pode ser explicado pela radiação de corpo negro. 3. Para a temperatura de 3000 K, a maior p