EXATAS

Dado a ∈  , defina   p = a + a 2   e   q = a + a 3   e considere as seguintes afirmações: I. se  p  ou  q  é irracional, então  a  é irracional. II. se  p  e  q  são racionais, então  a  é racional. III. se  q  é irracional, então  p  é irracional. É(são) VERDADEIRA(S) A (  ) apenas I. B (  ) apenas II. C (  ) apenas I e II. D (  ) apenas I e III. E (  ) todas. Gabarito: C Resolução: I: verdadeira; se  a  for racional,  a 2   e  a 3  são racionais também e, portanto, para que  p  ou  q  sejam irracionais, é necessário que  a  seja irracional também. II: verdadeira; ao efetuarmos a soma  p + q  obtemos p + q = a + a 2  + a + a 3 p + q = a 3 + a 2  + 2a p + q = a(a 2 + a + 2) p + q = a(p + 2) a = (p + q)/(p + 2) A partir da expressão anterior, temos que, se  p  e  q  são racionais, então  a  é racional também. III: falsa; admitindo-se que  p = 1 a 2  + a = 1 a 2  + a – 1 = 0 Essa equação tem raízes ( –1±√5)/2  e, nesse caso,  q  é irracional, ou seja, se se  q  é irracional, então  p  nã

ITA2020-1  Sejam a, b e c números reais, a ≠ 0, tais que a 2   + b 2   = c 2 . Se a, b e c formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão k, então o produto P e a soma S de todos os possíveis valores para k são iguais a A (  ) P = 1 e S = 0 B (  ) P = –1 e S = 1 C (  ) P = –1 e S = –1 D (  )   e S = 0 E (  )   e S = 0 Gabarito: D Resolução: Uma vez que  a ,  b  e  c  formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão  k ,  b = a.k ou a = b/k e c = b.k  e como  a 2  + b 2  = c 2 , temos (b/k) 2  + b 2  = (b.k) 2 b 2 /k 2  + b 2  = b 2 .k 2 b 2 /k 2  + b 2 .k 2 /k 2  = b 2 .k 4 /k 2 Dividindo todos os fatores da expressão anterior por b 2 /k 2  obtemos 1 + 1/k 2  = k 4 k 4  – k 2  – 1 = 0 fazendo-se k 2  = x na expressão anterior x 2  – x – 1 = 0 cujas raízes são x = (1 ± √5)/2 e, se k 2  = (1 ± √5)/2, k =  ± (1 + √5)/2. Assim, temos que o produto P e a soma S de todos os valores possíveis para k são iguais a P = +(1 + √5)/2 . [–(1 + √5)/2] P = – 1 + √5)/2 S = +(1 + √5)/2 +

ITA2020  Considere as seguintes afirmações: I. Todo poliedro formado por 16 faces quadrangulares possui exatamente 18 vértices e 32 arestas. II. Em todo poliedro convexo que possui 10 faces e 16 arestas, a soma dos ângulos de todas as faces é igual a 2 160°. III. Existe um poliedro com 15 faces, 22 arestas e 9 vértices. É(são) VERDADEIRA(S) A (  ) apenas I. B (  ) apenas II. C (  ) apenas III. D (  ) apenas I e II. E (  ) apenas II e III. Gabarito: B Resolução: I: falsa; o poliedro formado pode não obedecer à relação de Euler e, nesse caso, mesmo que houvesse 16 faces, não haveria, necessariamente, 18 vértices. II: verdadeira; uma vez que se trata de um poliedro convexo o número de vértices, de acordo com a relação de Euler, é: V + F – A = 2 V + 10 – 16 = 2 V = 8 A soma dos ângulos internos é igual a S = (V – 2).360 S = (8 – 2).360 S = 2160º III: falsa; para qualquer poliedro é necessário que tenhamos a relação  2A ≥ 3F  e, como nesse caso  2.22 < 3.15 , não existe um poliedro com 1

Considere  g  como o módulo de aceleração local da gravidade e, quando necessário, use g = 10 m/s 2 Um sistema de defesa aérea testa separadamente dois mísseis contra alvos móveis que se deslocam com velocidade   constante ao longo de uma reta distante de  d  do ponto de lançamento dos mísseis. Para atingir o alvo, o míssil 1 executa uma trajetória retilínea, enquanto o míssil 2, uma trajetória com velocidade sempre orientada para o alvo. A figura ilustra o instante de disparo de cada míssil, com o alvo passando pela origem do sistema de coordenadas  xy . Sendo os módulos das velocidades dos mísseis iguais entre si, maiores que v a  e mantidos constantes, considere as seguintes afirmações: I. Os intervalos de tempo entre o disparo e a colisão podem ser iguais para ambos os mísseis. II. Para que o míssil 1 acerte o alvo é necessário que o módulo da componente  y  de sua velocidade seja igual a v a . III. Desde o disparo até a colisão, o míssil 2 executa uma trajetória curva de con

Considere  g  como o módulo de aceleração local da gravidade e, quando necessário, use g = 10 m/s 2 . Por uma mangueira de diâmetro D 1  flui água a uma velocidade de 360 m/min, conectando-se na sua extremidade a 30 outras mangueiras iguais entre si, de diâmetro D 2  < D 1 . Assinale a relação D 2 /D 1  para que os jatos de água na saída das mangueiras tenham alcance horizontal máximo de 40 m. A (  )  B (  )  C (  )  D (  )  E (  )  Gabarito: A Resolução: Para que os jatos de água na saída das mangueiras tenham alcance horizontal máximo de 40 m, é necessário que a velocidade de saída seja igual a: A = v 0 2 /g 40 = v 0 2 /10 v 0 2  = 400 v 0  = 20 m/s Uma vez que a vazão deve ser constante, de acordo com a equação de Bernuolli, temos: A 1  . v 1  = A 2  . v 2 (π . r 1 2  / 2) v 1  = (π . r 2 2  / 2) . v 2 r 1 2  . v 1  = r 2 2  . v 2 r 1 2  . (360 m /60 s) = 30 . [r 2 2  . (20 m / s)] r 1 2  . (360 m /60 s) = 30 . [r 2 2  . (20 m / s)] r 2 2  / r 1 2

ITA 2020 -  Questão 05 Um satélite artificial viaja em direção a um planeta ao longo de uma trajetória parabólica. A uma distância d desse corpo celeste, propulsores são acionados de modo a, a partir daquele instante, mudar o módulo da velocidade do satélite de    para   e também a sua trajetória, que passa a ser elíptica em torno do planeta, com semieixo maior a. Sendo a massa do satélite desproporcionalmente menor que a do planeta, a razão   é dada por: a)  b)  c)  d)  e)  Na órbita parabólica, o satélite tem energia mecânica total igual a zero. Portanto, pela equação de conservação de energia mecânica em órbitas parabólicas, temos que: Logo: Para a órbita elíptica, temos: Assim: Portanto, a razão entre as velocidades é dada por: Gabarito: C

QUESTÃO 04 ITA 2020: Por uma mangueira de diâmetro D 1  flui água a uma velocidade de 360 m/min, conectando-se na sua extremidade a 30 outras mangueiras iguais entre si, de diâmetro D 2  < D 1 . Assinale a relação D 2 /D 1  para que os jatos de água na saída das mangueiras tenham alcance horizontal máximo de 40 m. a) 1/10. b) √3/10. c) 4/5. d) 1/2. e) √2/3. resposta a) 1/10. RESOLUÇÃO: 1) Cálculo do módulo V 2  da velocidade na saída nas mangueiras: 2) Pela equação da continuidade, a vazão permanece constante.

QUESTÃO 03 ITA 2020: Um bloco de massa m sustentado por um par de molas idênticas, paralelas e de constante elástica k, desce verticalmente com velocidade constante e de módulo v controlada por um motor, conforme ilustra a figura. Se o motor travar repentinamente, ocorrerá uma força de tração máxima no cabo com módulo igual a a)  b)  c)  d)  e)  Pelo enunciado que afirma que a velocidade é constante, tem-se pelo equilíbrio, na situação inicial: Ao travar-se o motor, inicia-se um problema de conservação de energia mecânica: Assim: Substituindo x: Na situação final: Gabarito: C