ITA 2020 Os pontos B = (1, 1 + 6 ) e C = (1 + 6 , 1) são vértices do triângulo isósceles ABC de base BC,

• Os pontos B = (1, 1 + 6 ) e C = (1 + 6 , 1) são vértices do triângulo isósceles ABC de base BC, contido no primeiro quadrante. Se o raio da circunferência inscrita no triângulo mede 3, então as coordenadas do vértice A são
  

  A (  ) 

  B (  ) 

  C (  ) 

  D (  ) 

  E (  ) 
• 
  
• Gabarito:C
  
  
  Resolução:
  
  O ponto médio da base BC é dado por
  

  M = (1 + 1 + 6√2)/2 , (1 + 6√2 + 1)/2

  M = (2 + 6√2)/2 , (2 + 6√2)/2

  M = (1 + 3√2; 1 + 3√2)

  Uma vez que as coordenadas de M são iguais, esse ponto pertence à reta y = x e, dado que o triângulo ABC é isósceles com base BC, a reta y = x também contém o ponto A. O segmento BC corresponde à diagonal de um quadrado de lado 6√2, ou seja

  BC = l√2

  BC = 6√2√2

  BC = 6√4

  BC = 6.2

  BC = 12

  Aplicando-se teorema de Pitágoras ao triângulo ADE:

  (AE)² = (AD)² + (DE)²

  (AE)² = (AD)² + (3)²

  (AD)² = (AE)² – 9

  AD = √[(AE)² – 9]

  Fazendo-se semelhança entre os triângulos AMC e ADE:

  DE/MC = AD/AM

  3/6 = √[(AE)² – 9/(AE + 3)

  1/2 = √[(AE)² – 9/(AE + 3)

  (AE + 3) = 2[√[(AE)² – 9]

  Elevando-se os dois lados da expressão anterior ao quadrado

  (AE)² + 6AE + 9 = 4(AE)² – 36

  3(AE)² – 6AE – 45 = 0

  Simplificando a expressão anterior por 3

  (AE)² – 2AE – 15 = 0

  Essa equação tem raízes –3/2, que não convém, e +5. Assim, AE = 5 e AM = 3 + 5 = 8.

  Uma vez que a distância AM é de 8 unidades, M = (1 + 3√2; 1 + 3√2) e OM = 6 + √2, AO = 14 + √2 e, considerando-se que AO é a diagonal de um quadrado, o lado desse quadro tem dimensão:

  (x_A – 0) = (y_A – 0) = l√2

  x_A = y_A = l√2 = 14 + √2

  x_A = y_A = 1 + 7√2

  Assim, as coordenadas do vértice A são (1 + 7√2, 1 + 7√2).