EXATAS

Determine os valores reais de a e b para os quais as equações x 3  + ax 2  + 18 = 0 e x 3  + bx + 12 = 0 possuam duas raízes em comum e, a seguir, determine essas raízes. Gabarito: Utilizando-se as relações de Girard para a primeira equação, temos: x 1  + x 2  + x 3  = – a                                  (I) x 1 ·x 2  + x 1 ·x 3  + x 2 ·x 3  = 0                       (II) x 1 ·x 2 ·x 3  = – 18                                      (III) Aplicando-se as relações de Girard para a segunda equação e considerando-se que existem duas raízes em comum com a primeira equação, temos: x 1  + x 2  + x 4  = 0                                    (IV) x 1 ·x 2  + x 1 ·x 4  + x 2 ·x 4  = b                       (V) x 1 ·x 2 ·x 4  = –12                                      (VI) Fazendo-se a razão entre (III) e (VI), obtemos: x 1 ·x 2 ·x 3  / x 1 ·x 2 ·x 4  = –18/–12 x 3  / x 4  = 3/2 x 4  = 2x 3 /3                                             (VII) Subtraindo (IV) de (I) e s

Considere as seguintes afirmações: I. Se x 1 , x 2  e x 3  são as raízes da equação x 3  – 2x 2  + x + 2 = 0, então y 1  = x 2 x 3  , y 2 = x 2 x 3  ey 3  = x 1 x 2  são as raízes da equação y 3  – y 2  – 4y – 4 = 0. II. A soma dos cubos de três números inteiros consecutivos é divisível por 9. III.  É(são) VERDADEIRA(S) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas II e III. e) todas. Gabarito: E Resolução: I. Verdadeira; aplicando-se as relações de Girard, temos: x 1  + x 2  + x 3  = –b/a x 1  + x 2  + x 3  = –(–2)/1 x 1  + x 2  + x 3  = 2 (x 1  · x 2 ) + (x 1  · x 3 ) + (x 2  · x 3 ) = c /a (x 1  · x 2 ) + (x 1  · x 3 ) + (x 2  · x 3 ) = 1 /1 (x 1  · x 2 ) + (x 1  · x 3 ) + (x 2  · x 3 ) = 1 x 1  · x 2  · x 3  = –d/a x 1  · x 2  · x 3  = –2/1 x 1  · x 2  · x 3  = –2 Uma vez que y 1  = x 2  · x 3 , y 2  = x 1  · x 3  e y 3  = x 1  · x 2 , temos: y 1  + y 2  + y 3  = x 2  · x 3  + x 1  · x 3  + x 1  · x 2  = 1 y 1  · y 2  + y 1  · y 3  + y 2  · y 3

Considere as seguintes afirmações: I. Se n é um número natural, então  . II. Se x é um número real e x 3  + x + 1 = 0, então  . III. Se a, b e c são números reais positivos que formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, então   formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. É(são) VERDADEIRA(S) a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas I e III. d) apenas II e III. e) todas. Gabarito: C Resolução: I. Verdadeira. Admitindo-se que n seja um número natural não nulo, cada fração da soma presente no lado esquerdo da igualdade tende a apresentar valor menor que o anterior e, portanto, a fração 1/2n, admitindo que n corresponda ao menor natural possível, ou seja, 1, apresenta valor 1/2 e somado às frações anteriores, fornece valor = 1/2. II. Falsa. O polinômio x 3  + x + 1 = 0 deve ter raízes, obrigatoriamente, diferentes de −1, 0 e +1. x 3  + x + 1 = 0 x 3  + 1 = –x Dividindo-se ambos os lados dessa equação, obtemos: x 2  + 1/x = –1 Adicionando-se 1/x 6  a ambos os lad