- Considere as seguintes afirmações:
I. Se x1, x2 e x3 são as raízes da equação x3 – 2x2 + x + 2 = 0, então y1 = x2x3 , y2= x2x3 ey3 = x1x2 são as raízes da equação y3 – y2 – 4y – 4 = 0.
II. A soma dos cubos de três números inteiros consecutivos é divisível por 9.
III.
É(são) VERDADEIRA(S)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas II e III.
e) todas. - Gabarito:E
Resolução:I. Verdadeira; aplicando-se as relações de Girard, temos:x1 + x2 + x3 = –b/ax1 + x2 + x3 = –(–2)/1x1 + x2 + x3 = 2(x1 · x2) + (x1 · x3) + (x2 · x3) = c /a(x1 · x2) + (x1 · x3) + (x2 · x3) = 1 /1(x1 · x2) + (x1 · x3) + (x2 · x3) = 1x1 · x2 · x3 = –d/ax1 · x2 · x3 = –2/1x1 · x2 · x3 = –2Uma vez que y1 = x2 · x3, y2 = x1 · x3 e y3 = x1 · x2, temos:y1 + y2 + y3 = x2 · x3 + x1 · x3 + x1 · x2 = 1y1 · y2 + y1 · y3 + y2 · y3 = x1 · x2 · x3 (x1 + x2 + x3) = –2 · 2 = –4y1 · y2 · y3 = (x1 · x2 · x3)2 = (– 2)2 = 4y1, y2 e y3 são, portanto, raízes da equação y3 – y2 – 4y – 4 = 0.II: verdadeira; considerando-se os três números consecutivos (n – 1), n e (n + 1), a soma dos cubos desses números é igual a:S = (n – 1)3 + n3 + (n + 1)3S = n3 – 3n2 + 3n – 1 + n3 + n3 + 3n2 + 3n + 1S = 3n3 + 6nS = 3n · (n2 + 2)S = 3n · (n + 1) · (n + 2)Essa soma envolve o produto de três inteiros consecutivos, sendo que o primeiro, 3n, é múltiplo de 3 e, portanto, a soma S é múltiplo de 3. A soma dos cubos de três números inteiros consecutivos é, portanto, divisível por 9.III. Verdadeira. Ambos os lados da equação contêm números positivos e, portanto, temos, elevando-se ambos os lados ao quadrado:√(3 + √5)/2 = (1 + √5)/2[√(3 + √5)/2]2 = [(1 + √5)/2]2(3 + √5)/2 = [(1)2 + 2.1.√5 + (√5)2]/(2)2(3 + √5)/2 = (6 + 2√5)/4(3 + √5)/2 = 3 + √5)/2
Mili, micro, nano .. conversões de unidades Unidades de comprimento km m dm cm mm m m 1 10 3 10 4 10 5 10 6 10 9 10 -3 1 10 10 2 10 3 10 6 10 -4 10 -1 1 10 10 2 10 5 10 -5 10 -2 10 -1 1 10 10 4 10 -6 10 -3 10 -2 10 -1 1 10 3 10 -9 10 -6 10 -5 10 -4 10 -3 1 FONTE: http://www.feiradeciencias.com.br/tabelas_conversoes.asp
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