- Considere as seguintes afirmações:
I. Se x1, x2 e x3 são as raízes da equação x3 – 2x2 + x + 2 = 0, então y1 = x2x3 , y2= x2x3 ey3 = x1x2 são as raízes da equação y3 – y2 – 4y – 4 = 0.
II. A soma dos cubos de três números inteiros consecutivos é divisível por 9.
III.
É(são) VERDADEIRA(S)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas II e III.
e) todas. - Gabarito:E
Resolução:I. Verdadeira; aplicando-se as relações de Girard, temos:x1 + x2 + x3 = –b/ax1 + x2 + x3 = –(–2)/1x1 + x2 + x3 = 2(x1 · x2) + (x1 · x3) + (x2 · x3) = c /a(x1 · x2) + (x1 · x3) + (x2 · x3) = 1 /1(x1 · x2) + (x1 · x3) + (x2 · x3) = 1x1 · x2 · x3 = –d/ax1 · x2 · x3 = –2/1x1 · x2 · x3 = –2Uma vez que y1 = x2 · x3, y2 = x1 · x3 e y3 = x1 · x2, temos:y1 + y2 + y3 = x2 · x3 + x1 · x3 + x1 · x2 = 1y1 · y2 + y1 · y3 + y2 · y3 = x1 · x2 · x3 (x1 + x2 + x3) = –2 · 2 = –4y1 · y2 · y3 = (x1 · x2 · x3)2 = (– 2)2 = 4y1, y2 e y3 são, portanto, raízes da equação y3 – y2 – 4y – 4 = 0.II: verdadeira; considerando-se os três números consecutivos (n – 1), n e (n + 1), a soma dos cubos desses números é igual a:S = (n – 1)3 + n3 + (n + 1)3S = n3 – 3n2 + 3n – 1 + n3 + n3 + 3n2 + 3n + 1S = 3n3 + 6nS = 3n · (n2 + 2)S = 3n · (n + 1) · (n + 2)Essa soma envolve o produto de três inteiros consecutivos, sendo que o primeiro, 3n, é múltiplo de 3 e, portanto, a soma S é múltiplo de 3. A soma dos cubos de três números inteiros consecutivos é, portanto, divisível por 9.III. Verdadeira. Ambos os lados da equação contêm números positivos e, portanto, temos, elevando-se ambos os lados ao quadrado:√(3 + √5)/2 = (1 + √5)/2[√(3 + √5)/2]2 = [(1 + √5)/2]2(3 + √5)/2 = [(1)2 + 2.1.√5 + (√5)2]/(2)2(3 + √5)/2 = (6 + 2√5)/4(3 + √5)/2 = 3 + √5)/2
DILATAÇÃO ANÔMALA DA ÁGUA A água possui um comportamento anômalo em sua dilatação. Observe o diagrama volume x temperatura a seguir, no qual e mostrado esse comportamento incomum da água. Quando uma substância é aquecida, ela recebe energia de forma que suas moléculas ficam agitadas, passando a ocupar um maior volume, ou seja, sofre dilatação. O oposto ocorre quando uma substância é resfriada, pois ela perde energia e suas moléculas tendem a ficar bem próximas umas das outras, causando uma contração no volume. Isso faz com que, normalmente, a matéria no estado sólido ocupe menos volume do que quando está no estado líquido. Ao contrário do que acontece com a maioria das substâncias, a água possui um comportamento anômalo: quando é aquecida, entre os intervalos de 0 e 4º C, ela sofre contração e depois começa a dilatar-se, ou seja, quando a água está em seu estado sólido, ela tem volume maior do que no estado líquido nesse intervalo de temperatura. Esse com...
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