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ITA 2019 Determine os valores reais de a e b para os quais as equações x3 + ax2 + 18 = 0 e x3 + bx + 12 = 0 possuam duas raízes em comum e, a seguir, determine essas raízes.

  • Determine os valores reais de a e b para os quais as equações x3 + ax2 + 18 = 0 e x3 + bx + 12 = 0 possuam duas raízes em comum e, a seguir, determine essas raízes.
  • Gabarito:
    Utilizando-se as relações de Girard para a primeira equação, temos:
    x1 + x2 + x3 = – a                                  (I)
    x1·x2 + x1·x3 + x2·x3 = 0                       (II)
    x1·x2·x3 = – 18                                      (III)
    Aplicando-se as relações de Girard para a segunda equação e considerando-se que existem duas raízes em comum com a primeira equação, temos:
    x1 + x2 + x4 = 0                                    (IV)
    x1·x2 + x1·x4 + x2·x4 = b                       (V)
    x1·x2·x4 = –12                                      (VI)
    Fazendo-se a razão entre (III) e (VI), obtemos:
    x1·x2·x3 / x1·x2·x4 = –18/–12
    x3 / x4 = 3/2
    x4 = 2x3/3                                             (VII)
    Subtraindo (IV) de (I) e substituindo esse valor para x4:
    (x1 + x2 + x3) – (x1 + x2 + x4) = –a – 0
    x3 – x4 = –a
    x3 – 2x3/3 = –a
    x3 = –3a
    Uma vez que x3 é uma das raízes de x3 + ax2 + 18 = 0:
    x3 + ax2 + 18 = 0
    (–3a)3 + a(–3a)2 + 18 = 0
    –27a3 + 9a3 + 18 =0
    a3 = 1
    a = 1
    A partir desse valor, temos:
    x3 = –3a
    x3 = –3·1
    x3 = –3
    x4 = 2x3/3
    x4 = 2·(–3)/3
    x4 = –2
    Uma vez que x4 é uma das raízes de x3 + bx + 12 = 0:
    x3 + bx + 12 = 0
    (–2)3 + b·(–2) + 12 = 0
    –8 –2b + 12 = 0
    b = 2
    Assim, temos:
    x3 + ax2 + 18 = 0
    x3 + x2 + 18 = 0                                  (VIII)
    x3 + bx + 12 = 0
    x3 + 2x + 12 = 0                                 (IX)
    Subtraindo-se (IX) de (VIII):
    x3 + x2 + 18 – (x3 + 2x + 12) = 0
    x2 – 2x + 6 = 0                                    (X)
    Aplicando-se fórmula de Bhaskara a (X):
    x = (–b ± √Δ) / 2a
    x = {–(–2) ± √[(– 2)2 – (4 · 1 · 6)] / (2 · 1)}
    x = (2 ± √–20) / 2
    x = (2 ± 2i√5) / 2
    x1 = 1 – i√5 e x2 = 1 + i√5
    Assim, os valores de a e b são, respectivamente, 1 e –2, e as raízes em comum são x1 = 1 – i√5 e x2 = 1 + i√5.

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