Pular para o conteúdo principal

ITA 2019 Determine os valores reais de a e b para os quais as equações x3 + ax2 + 18 = 0 e x3 + bx + 12 = 0 possuam duas raízes em comum e, a seguir, determine essas raízes.

  • Determine os valores reais de a e b para os quais as equações x3 + ax2 + 18 = 0 e x3 + bx + 12 = 0 possuam duas raízes em comum e, a seguir, determine essas raízes.
  • Gabarito:
    Utilizando-se as relações de Girard para a primeira equação, temos:
    x1 + x2 + x3 = – a                                  (I)
    x1·x2 + x1·x3 + x2·x3 = 0                       (II)
    x1·x2·x3 = – 18                                      (III)
    Aplicando-se as relações de Girard para a segunda equação e considerando-se que existem duas raízes em comum com a primeira equação, temos:
    x1 + x2 + x4 = 0                                    (IV)
    x1·x2 + x1·x4 + x2·x4 = b                       (V)
    x1·x2·x4 = –12                                      (VI)
    Fazendo-se a razão entre (III) e (VI), obtemos:
    x1·x2·x3 / x1·x2·x4 = –18/–12
    x3 / x4 = 3/2
    x4 = 2x3/3                                             (VII)
    Subtraindo (IV) de (I) e substituindo esse valor para x4:
    (x1 + x2 + x3) – (x1 + x2 + x4) = –a – 0
    x3 – x4 = –a
    x3 – 2x3/3 = –a
    x3 = –3a
    Uma vez que x3 é uma das raízes de x3 + ax2 + 18 = 0:
    x3 + ax2 + 18 = 0
    (–3a)3 + a(–3a)2 + 18 = 0
    –27a3 + 9a3 + 18 =0
    a3 = 1
    a = 1
    A partir desse valor, temos:
    x3 = –3a
    x3 = –3·1
    x3 = –3
    x4 = 2x3/3
    x4 = 2·(–3)/3
    x4 = –2
    Uma vez que x4 é uma das raízes de x3 + bx + 12 = 0:
    x3 + bx + 12 = 0
    (–2)3 + b·(–2) + 12 = 0
    –8 –2b + 12 = 0
    b = 2
    Assim, temos:
    x3 + ax2 + 18 = 0
    x3 + x2 + 18 = 0                                  (VIII)
    x3 + bx + 12 = 0
    x3 + 2x + 12 = 0                                 (IX)
    Subtraindo-se (IX) de (VIII):
    x3 + x2 + 18 – (x3 + 2x + 12) = 0
    x2 – 2x + 6 = 0                                    (X)
    Aplicando-se fórmula de Bhaskara a (X):
    x = (–b ± √Δ) / 2a
    x = {–(–2) ± √[(– 2)2 – (4 · 1 · 6)] / (2 · 1)}
    x = (2 ± √–20) / 2
    x = (2 ± 2i√5) / 2
    x1 = 1 – i√5 e x2 = 1 + i√5
    Assim, os valores de a e b são, respectivamente, 1 e –2, e as raízes em comum são x1 = 1 – i√5 e x2 = 1 + i√5.

Marcadores:

Comentários

Postar um comentário

Postagens mais visitadas deste blog

Exercícios de Termologia 9º Ano

Transmissão de calor e escalas  termométricas 01- Quando se coloca uma colher de metal numa sopa quente, logo a colher também estará quente. A transmissão de calor através da colher e chamada: (A) agitação; (B) condução; (C) irradiação; (D) convecção. 02- A blusa de lã e um bom isolante térmico porque: (A) e muito espessa; (B) retém bastante ar no seu interior; (C) impede a passagem da corrente de ar pelo corpo; (D) impede a transpiração e a consequente diminuição de temperatura do corpo. 03- O processo de transmissão de calor que só ocorre no vácuo   (onde não tem ar) e: (A) condução; (B) convecção; (C) absorção; (D) irradiação. 04- Ao misturarmos num copo água gelada com água na temperatura ambiente, com o objetivo de bebe-la, devemos: (A) misturar de qualquer modo; (B) colocar a água quente sobre a água fria; (C) colocar primeiro a água fria e depois a quente; (D) colocar a água fria após a água quente, para obtermos uma ...
Postar um comentário
Leia mais

Ondulatória Exercícios 9° Ano

1. (UFMG)  As ondas eletromagnéticas, ao contrário das ondas mecânicas, não precisam de um meio material para se propagar. Considere as seguintes ondas: som, ultrassom, ondas de rádio, micro-ondas e luz. Sobre essas ondas é correto afirmar que a) luz e micro-ondas são ondas eletromagnéticas e as outras são ondas mecânicas.    b) luz é onda eletromagnética e as outras são ondas mecânicas.    c) som é onda mecânica e as outras são ondas eletromagnéticas.    d) som e ultrassom são ondas mecânicas e as outras são ondas eletromagnéticas.       2. (FAAP)  O som é uma onda .......... . Para se propagar necessita .......... e a altura de um som refere-se à sua .......... .  a) plana - do ar - intensidade    b) mecânica - do meio material - frequência    c) mecânica - do vácuo - frequência    d) transversal - do ar - velocidade    e) transversal - do mei...
Postar um comentário
Leia mais

Exercícios óptica 9° ano

Princípios da óptica geométrica exercícios  gabarito  1. Um quadro coberto com uma placa de vidro plana, não pode ser visto tão nitidamente quanto outro não coberto, porque o vidro: a) é opaco; b) é transparente; c) não reflete a luz; d) reflete parte da luz; 2. Você pode ver a folha de um livro, porque ela: a) é feita de celulose; b) possui luz e a emite; c) é branca e absorve a luz; d) reflete a luz para seus olhos;   3. Qual das afirmações abaixo é correta? a) a velocidade da luz é igual a velocidade do som; b) a luz se propaga em linha reta; c) a velocidade da luz solar é maior que a da luz de uma vela; d) a luz não se propaga no vácuo; 4. O vidro fosco é um meio: a) opaco; b) translúcido; c) transparente; d) nenhuma das anteriores; 5. À medida que a luz solar penetra na água, em locais de grande profundidade, ela vai se transformando em outro tipo de energia (geralmente em energia calorífica). Este fenômen...
Postar um comentário
Leia mais