ITA 2019 Determine os valores reais de a e b para os quais as equações x3 + ax2 + 18 = 0 e x3 + bx + 12 = 0 possuam duas raízes em comum e, a seguir, determine essas raízes.

• Determine os valores reais de a e b para os quais as equações x³ + ax² + 18 = 0 e x³ + bx + 12 = 0 possuam duas raízes em comum e, a seguir, determine essas raízes.
• Gabarito:
  Utilizando-se as relações de Girard para a primeira equação, temos:
  x₁ + x₂ + x₃ = – a                                  (I)
  x₁·x₂ + x₁·x₃ + x₂·x₃ = 0                       (II)
  x₁·x₂·x₃ = – 18                                      (III)
  Aplicando-se as relações de Girard para a segunda equação e considerando-se que existem duas raízes em comum com a primeira equação, temos:
  x₁ + x₂ + x₄ = 0                                    (IV)
  x₁·x₂ + x₁·x₄ + x₂·x₄ = b                       (V)
  x₁·x₂·x₄ = –12                                      (VI)
  Fazendo-se a razão entre (III) e (VI), obtemos:
  x₁·x₂·x₃ / x₁·x₂·x₄ = –18/–12
  x₃ / x₄ = 3/2
  x₄ = 2x₃/3                                             (VII)
  Subtraindo (IV) de (I) e substituindo esse valor para x₄:
  (x₁ + x₂ + x₃) – (x₁ + x₂ + x₄) = –a – 0
  x₃ – x₄ = –a
  x₃ – 2x₃/3 = –a
  x₃ = –3a
  Uma vez que x₃ é uma das raízes de x³ + ax² + 18 = 0:
  x³ + ax² + 18 = 0
  (–3a)³ + a(–3a)² + 18 = 0
  –27a³ + 9a³ + 18 =0
  a³ = 1
  a = 1
  A partir desse valor, temos:
  x₃ = –3a
  x₃ = –3·1
  x₃ = –3
  x₄ = 2x₃/3
  x₄ = 2·(–3)/3
  x₄ = –2
  Uma vez que x₄ é uma das raízes de x³ + bx + 12 = 0:
  x³ + bx + 12 = 0
  (–2)³ + b·(–2) + 12 = 0
  –8 –2b + 12 = 0
  b = 2
  Assim, temos:
  x³ + ax² + 18 = 0
  x³ + x² + 18 = 0                                  (VIII)
  x³ + bx + 12 = 0
  x³ + 2x + 12 = 0                                 (IX)
  Subtraindo-se (IX) de (VIII):
  x³ + x² + 18 – (x³ + 2x + 12) = 0
  x² – 2x + 6 = 0                                    (X)
  Aplicando-se fórmula de Bhaskara a (X):
  x = (–b ± √Δ) / 2a
  x = {–(–2) ± √[(– 2)² – (4 · 1 · 6)] / (2 · 1)}
  x = (2 ± √–20) / 2
  x = (2 ± 2i√5) / 2
  x₁ = 1 – i√5 e x₂ = 1 + i√5
  Assim, os valores de a e b são, respectivamente, 1 e –2, e as raízes em comum são x₁ = 1 – i√5 e x₂ = 1 + i√5.
•