ITA 2019 Considere as seguintes afirmações:

• Considere as seguintes afirmações:
  I. Se n é um número natural, então .
  II. Se x é um número real e x³ + x + 1 = 0, então .
  III. Se a, b e c são números reais positivos que formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, então  formam, nessa ordem, uma progressão aritmética.
  
  É(são) VERDADEIRA(S)
  
  a) apenas I.
  b) apenas I e II.
  c) apenas I e III.
  d) apenas II e III.
  e) todas.
• Gabarito:C
  
  
  Resolução:
  I. Verdadeira. Admitindo-se que n seja um número natural não nulo, cada fração da soma presente no lado esquerdo da igualdade tende a apresentar valor menor que o anterior e, portanto, a fração 1/2n, admitindo que n corresponda ao menor natural possível, ou seja, 1, apresenta valor 1/2 e somado às frações anteriores, fornece valor = 1/2.

  II. Falsa. O polinômio x³ + x + 1 = 0 deve ter raízes, obrigatoriamente, diferentes de −1, 0 e +1.

  x³ + x + 1 = 0

  x³ + 1 = –x

  Dividindo-se ambos os lados dessa equação, obtemos:

  x² + 1/x = –1

  Adicionando-se 1/x⁶ a ambos os lados da equação:

  x² + 1/x + 1/x⁶ = −1 + 1/x⁶

  x² + 1/x + 1/x⁶ = (1 – x⁶)/x⁶

  Uma vez que as raízes do polinômio original são diferentes de –1, 0 e +1, e as raízes reais de 1 – x⁶ = 0 são 1 e –1, a soma x² + 1/x + 1/x⁶ deve ser diferente de zero.

  III. Verdadeira. Admitindo-se que os números 1/(√b + √c), 1/(√c + √a), 1/(√a + √c) formem, nessa ordem, uma progressão aritmética, temos:

  1/(√a + √b) + 1/(√b + √c) = 2/(√a + √c)

  (√b + √c). (√a + √c) + (√a + √b). (√a + √c) = 2(√a + √b).( √b + √c)

  c + √ab + √ac + √bc + a + √ab + √ac + √bc = 2b + 2√ab + 2√ac + 2√bc

  a + c = 2b