Unifesp2020 As figuras indicam, em vista superior, duas caixas reto-retangulares. A caixa 1 possui bolas verdes

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• As figuras indicam, em vista superior, duas caixas reto-retangulares. A caixa 1 possui bolas verdes idênticas ao longo de toda a área da sua base, sem superposição e sem espaço entre elas. A caixa 2 possui bolas azuis idênticas ao longo de todo o seu contorno interno, sem superposição e sem espaço entre elas.
  

  a) Admita que a caixa 1 tenha 1 591 bolas verdes, x colunas de bolas verdes e y linhas de bolas verdes. Sabendo que a diferença entre x e y, nessa ordem, é igual a 6, calcule x e y.

  b) Admita que a caixa 2 tenha 266 bolas azuis e que haja um cubo inscrito em uma dessas bolas. Calcule a medida da aresta desse cubo, sabendo que a base da caixa é um retângulo de 2 metros por 3 metros.
• Gabarito:a) De acordo com enunciado, temos as seguintes relações:
  x . y = 1591                            (I)
  x – y = 6 ? x = y + 6             (II)
  Substituindo (II) em (I):
  x . y = 1591
  (y + 6) . y = 1591
  y² + 6y – 1591 = 0
  y₁ = –43 (não convém) e y₂ = 37.
  Assim, temos:
  x – y = 6
  x – 37 = 6
  x = 43
  b) Admitindo que haja uma quantidade q₁ de bolas em cada linha horizontal e que haja q₂bolas em cada linha vertical, e que a quantidade total de bolas é 266, temos:
  2q₁ + 2q₂ – 4 = 266
  2q₁ + 2q₂ = 270
  q₁ + q₂ = 135                          (I)
  Uma vez que as dimensões da caixa 2 são 2 m x 3 m, de forma que
  q₁/3 = q₂/2
  q₁ = 3q₂/2                              (II)
  Substituindo (II) em (I):
  3q₂/2 + q₂ = 135
  q₂ = 54 esferas
  Substituindo em (I):
  q₁ + 54 = 135
  q₁ = 81 esferas
  O diâmetro de uma esfera é, portanto, igual a:
  d = 3/81
  d = 1/27 m
  A medida da aresta do cubo  é:
  l?3 = 1/27
  l = 1/27?3
  l = ?3/81 m