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Unicamp 2020 A figura a seguir exibe a planificação de um poliedro convexo, com faces triangulares

  • A figura a seguir exibe a planificação de um poliedro convexo, com faces triangulares congruentes e faces retangulares, em que são indicados os comprimentos ?, ? e ?.
    Unicamp2020-2-mat-10
    a) Determine o número de vértices e de arestas desse poliedro.
    b) Para ? = 13 ??, ? = 16 ?? e ? = 10 ??, calcule o volume desse poliedro.
  • Gabarito:(Resolução oficial.)
    a) De acordo com o enunciado, como as faces triangulares são congruentes e um poliedro é convexo, temos a representação espacial exibida na figura a seguir. Temos, então, um total de 9 vértices e 16 arestas.
    Unicamp2020-2-mat-10-RES
    b) O volume do poliedro pode ser calculado pela soma do volume de um paralelepípedo com o volume de uma pirâmide. O volume do paralelepípedo é dado por b × c × c = 16 × 10 × 10 = 1600 cm3. Para calcular o volume da pirâmide, devemos primeiramente determinar sua altura. Observando a figura a seguir, em que h é o comprimento da altura, e aplicando o teorema de Pitágoras, temos h2 + (c/2)2 = a2, ou seja, h2 = 132 – 52 = 169 – 25 = 144 e, portanto, h = 12 cm.
    Unicamp2020-2-mat-10-1-RES
    Assim, o volume da pirâmide é dado por 1/3 × c × c × h = 1/3 × 10 ×10 × 12 = 400 cm2. Portanto, o volume do poliedro é igual a 1600 + 400 = 2000 cm3.
     

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