ITA2020 Dado a ∈ R, defina p = a + a2 e q = a + a3 e considere as seguintes afirmações:

Dado a ∈ , defina p = a + a² e q = a + a_³ e considere as seguintes afirmações:

• I. se p ou q é irracional, então a é irracional.

  II. se p e q são racionais, então a é racional.

  III. se q é irracional, então p é irracional.

  É(são) VERDADEIRA(S)
  

  A (  ) apenas I.

  B (  ) apenas II.

  C (  ) apenas I e II.

  D (  ) apenas I e III.

  E (  ) todas.
• Gabarito:C
  
  
  Resolução:
  I: verdadeira; se a for racional, a² e a³ são racionais também e, portanto, para que p ou q sejam irracionais, é necessário que a seja irracional também.

  II: verdadeira; ao efetuarmos a soma p + q obtemos

  p + q = a + a² + a + a³

  p + q = a³+ a² + 2a

  p + q = a(a²+ a + 2)

  p + q = a(p + 2)

  a = (p + q)/(p + 2)

  A partir da expressão anterior, temos que, se p e q são racionais, então a é racional também.

  III: falsa; admitindo-se que p = 1

  a² + a = 1

  a² + a – 1 = 0

  Essa equação tem raízes (–1±√5)/2 e, nesse caso, q é irracional, ou seja, se se q é irracional, então p não é necessariamente irracional.