ITA2020 Dado a ∈ R, defina p = a + a2 e q = a + a3 e considere as seguintes afirmações:

Dado a ∈ $formula$ , defina p = a + a² e q = a + a^₃ e considere as seguintes afirmações:

I. se p ou q é irracional, então a é irracional.
II. se p e q são racionais, então a é racional.
III. se q é irracional, então p é irracional.
É(são) VERDADEIRA(S)
A ( ) apenas I.
B ( ) apenas II.
C ( ) apenas I e II.
D ( ) apenas I e III.
E ( ) todas.
Gabarito:C

Resolução:
I: verdadeira; se a for racional, a² e a³ são racionais também e, portanto, para que p ou q sejam irracionais, é necessário que a seja irracional também.
II: verdadeira; ao efetuarmos a soma p + q obtemos
p + q = a + a² + a + a³
p + q = a³+ a² + 2a
p + q = a(a²+ a + 2)
p + q = a(p + 2)
a = (p + q)/(p + 2)
A partir da expressão anterior, temos que, se p e q são racionais, então a é racional também.
III: falsa; admitindo-se que p = 1
a² + a = 1
a² + a – 1 = 0
Essa equação tem raízes (–1±√5)/2 e, nesse caso, q é irracional, ou seja, se se q é irracional, então p não é necessariamente irracional.

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