Unicamp 2020 A figura abaixo exibe um triângulo isósceles com dois lados de comprimento

A figura abaixo exibe um triângulo isósceles com dois lados de comprimento $\dpi{100} \large a=5cm$ e um dos ângulos internos igual a $\dpi{100} \large \theta$ , em que $\dpi{100} \large cos\ \theta=3/5$ .

a) Calcule a área desse triângulo.

b) Determine o comprimento do raio da circunferência circunscrita a esse triângulo.
a) Sendo h o comprimento da altura em relação a um dos lados de comprimento a, temos sen $\dpi{100} \large \theta$ = h/a e, portanto, a área do triângulo pode ser calculada como $formula$ .

Como 0 < $\dpi{100} \large \theta$ < 180º, da equação fundamental (sen $\dpi{100} \large \theta$ )² + (cos $\dpi{100} \large \theta$ )² = 1, temos

b) Observe a figura a seguir, em que O é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo e r é o comprimento de raio dessa circunferência.

Aplicando a lei dos Cossenos, temos a² = r² + r² – 2xr . r . $formula$ . Como $formula$ , então temos a² = 2r² + 2r² . $formula$ = 2r²(1 + $formula$ ). Logo, obtemos a equação 25 = 2r²(1 + 3/5) = 16/5r² e, portanto, r² = 125/16, ou seja, $formula$ .
$formula$ . Assim, a área é igual a $formula$ .

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