EXATAS

Fuvest2020-1  O cilindro de papelão central de uma fita crepe tem raio externo de 3 cm. A fita tem espessura de 0,01 cm e dá 100 voltas completas. Considerando que, a cada volta, o raio externo do rolo é aumentado no valor da espessura da fita, o comprimento total da fita é cerca de,  (A) 9,4 m. (B) 11,0 m. (C) 18,8 m. (D) 22,0 m. (E) 25,1 m. Note e adote:  3,14. Gabarito: D Resolução: Uma vez que existe aumento de 0,01 cm no raio a cada volta, temos uma progressão aritmética com primeiro termo igual a 3,01 cm e último termo dado por a 100  = a 1  + (n – 1).r a 100  = 3,01 + (100 – 1).0,01 a 100  = 4 cm O comprimento de cada volta, que também é uma PA, é dado por: C = 2 . π . r O comprimento da primeira e da última volta é, respectivamente, igual a: C primeira  = 2 . 3,14 . 3,01 C primeira  = 18,90 cm C última  = 2 . 3,14 . 4 C última  = 25,12 cm A soma dos 100 termos dessa PA é igual a: S n  = (a 1  + a n ).n/2 S 100 ...

  A figura apresenta uma parte de uma tabela na qual cada linha e cada coluna seguem de acordo com o padrão representado. Com relação a essa tabela de números: a) Escolha um quadrado 3 × 3 e, exibindo a soma de seus 9 números, verifique que o resultado é múltiplo de 9. b) Um quadrado com 16 números tem por soma de todos esses números o valor de 1 056 (mil e cinquenta e seis). Descubra o menor número desse quadrado. c) A soma de todos os números de um quadrado   x  , com menor número igual a 4, é de 108 000 (cento e oito mil). Qual é o valor de  ? Gabarito: a) Escolhendo-se o quadrado a seguir A soma  S  dos números contidos nesse quadrado é S  = 1 + 2 + 3 + 8 + 9 + 10 + 15 + 16 + 17 S  = 81 Essa soma é igual a 9 x 9, ou seja, o resultado da soma dos números contidos no quadrado é múltiplo de 9. b) Considerando-se  n  como o menor número e que, em cada coluna, o número imediatamente abaixo de um certo número é dado por  n+7 ...

ITA2020-1  Sejam a, b e c números reais, a ≠ 0, tais que a 2   + b 2   = c 2 . Se a, b e c formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão k, então o produto P e a soma S de todos os possíveis valores para k são iguais a A (  ) P = 1 e S = 0 B (  ) P = –1 e S = 1 C (  ) P = –1 e S = –1 D (  )   e S = 0 E (  )   e S = 0 Gabarito: D Resolução: Uma vez que  a ,  b  e  c  formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão  k ,  b = a.k ou a = b/k e c = b.k  e como  a 2  + b 2  = c 2 , temos (b/k) 2  + b 2  = (b.k) 2 b 2 /k 2  + b 2  = b 2 .k 2 b 2 /k 2  + b 2 .k 2 /k 2  = b 2 .k 4 /k 2 Dividindo todos os fatores da expressão anterior por b 2 /k 2  obtemos 1 + 1/k 2  = k 4 k 4  – k 2  – 1 = 0 fazendo-se k 2  = x na expressão anterior x 2  – x – 1 = 0 cujas raízes são x = (1 ± √5)/2 e, se k 2  = (1 ± √5...

Fuvest2020-2  O  Floco de Neve de Koch   (ou   Estrela de Koch ) é uma construção geométrica recursiva cujos primeiros passos se desenvolvem da seguinte forma:   Passo 0 : começa‐se com um triângulo equilátero de lados de medida 1. Passo 1 : divide‐se cada lado do triângulo do Passo 0 em 3 segmentos iguais e constrói‐se um triângulo equilátero com base em cada segmento do meio. Passo 2 : repete‐se o procedimento descrito no Passo 1 em cada lado da figura obtida no passo anterior . Os passos seguintes (Passo 3, Passo 4, Passo 5, ...) seguem o mesmo procedimento descrito no Passo 1, em cada lado da figura obtida no passo anterior. Considerando os passos descritos e os próximos passos, responda: a) Qual é o número de lados da figura no Passo 3? b) Qual é o perímetro da figura no Passo 5? c) A partir de qual Passo o número de lados da figura supera 6 000 000 000 000 (seis trilhões)? Note e adote: Gabarito:  a) Ao fim de cada Passo, cada figura apresenta: – Pass...