Fuvest2020-2 O Floco de Neve de Koch (ou Estrela de Koch) é uma construção geométrica

Fuvest2020-2 O Floco de Neve de Koch (ou Estrela de Koch) é uma construção geométrica recursiva cujos primeiros passos se desenvolvem da seguinte forma:

•  

  Passo 0: começa‐se com um triângulo equilátero de lados de medida 1.	Passo 1: divide‐se cada lado do triângulo do Passo 0 em 3 segmentos iguais e constrói‐se um triângulo equilátero com base em cada segmento do meio.	Passo 2: repete‐se o procedimento descrito no Passo 1 em cada lado da figura obtida no passo anterior.

  Os passos seguintes (Passo 3, Passo 4, Passo 5, ...) seguem o mesmo procedimento descrito no Passo 1, em cada lado da figura obtida no passo anterior. Considerando os passos descritos e os próximos passos, responda:

  a) Qual é o número de lados da figura no Passo 3?

  b) Qual é o perímetro da figura no Passo 5?

  c) A partir de qual Passo o número de lados da figura supera 6 000 000 000 000 (seis trilhões)?
  

  
  Note e adote:

  

  
  
• Gabarito: a) Ao fim de cada Passo, cada figura apresenta:
  – Passo 0 = 3 lados;
  – Passo 1 = 12 lados;
  – Passo 2 = 48 lados.
  Pode-se verificar que se trata de uma progressão geométrica com primeiro termo a₁ = 3 e razão q = 4.
  Assim, ao final do terceiro Passo a figura obtida deve apresentar:
  n_lados = a₃ . q
  n_lados = 48 . 4
  n_lados = 192
  b) Comparando-se as figuras do Passo 0 e Passo 1, podemos verificar que o aumento no perímetro corresponde a 3 vezes 1/3 de aresta, ou seja, o aumento é 1 aresta, de forma que temos uma progressão geométrica de razão
  a₂ = a₁ . q
  4 = 3 . q
  q = 4/3
  Dessa forma, ao final do Passo 5, o perímetro da figura obtida é dado por:
  a₅ = a₀ . q⁵
  a₅ = 3 . (4/3)⁵
  a₅ = 3.(1024/243)
  a₅ = 2p = 1024/81 µ.c.
  c) Uma vez que o número de lados da figura deve superar 6 trilhões (6.10¹²) é necessário que:
  a_n = a₁ . qⁿ
  6.10¹² = 3 . 4ⁿ
  4ⁿ = 2.10¹²
  log 4ⁿ = log 2.10¹²
  n . log 4 = log 2 + log 10¹²
  n . 2 . log 2 = log 2 + log 10¹²
  n . 2 . 0,301 = 0,301 + 12
  n . 0,602 = 12,301
  n @ 20,43
  Assim, a partir do Passo 21 o número de lados da figura supera 6.000.000.000.000 (seis trilhões).