Fuvest2020-2 - A figura apresenta uma parte de uma tabela na qual cada linha e cada coluna seguem de acordo

 A figura apresenta uma parte de uma tabela na qual cada linha e cada coluna seguem de acordo com o padrão representado.

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  Com relação a essa tabela de números:

  a) Escolha um quadrado 3 × 3 e, exibindo a soma de seus 9 números, verifique que o resultado é múltiplo de 9.

  b) Um quadrado com 16 números tem por soma de todos esses números o valor de 1 056 (mil e cinquenta e seis). Descubra o menor número desse quadrado.

  c) A soma de todos os números de um quadrado  x , com menor número igual a 4, é de 108 000 (cento e oito mil). Qual é o valor de ?
• Gabarito:a) Escolhendo-se o quadrado a seguir
  
  
  
  
  A soma S dos números contidos nesse quadrado é
  S = 1 + 2 + 3 + 8 + 9 + 10 + 15 + 16 + 17
  S = 81
  Essa soma é igual a 9 x 9, ou seja, o resultado da soma dos números contidos no quadrado é múltiplo de 9.
  b) Considerando-se n como o menor número e que, em cada coluna, o número imediatamente abaixo de um certo número é dado por n+7 temos, para cada uma das quatro linhas
  – primeira linha:
  n + n+1 + n+2 + n+3 = 4n + 6
  – segunda linha:
  4n + 34
  – terceira linha:
  4n + 62
  – quarta linha:
  4n + 90
  Esse quadrado com 16 números tem por soma de todos esses números o valor de 1 056, de forma que o menor número n do quadrado é dado por
  4n + 6 + 4n + 34 + 4n + 62 + 4n + 90 = 1056
  16n + 192 = 1056
  16n = 864
  n = 54
  c) Cada coluna é uma progressão aritmética com razão r = 7. Considerando-se a primeira coluna, o primeiro termo é 4 e o enésimo termo é dado por:
  a_n = a₁ + (n – 1).r
  a_n = 4 + (n – 1).7
  a_n = 7n – 3
  A soma dos n termos dessa coluna é
  

  S_n = (a₁ + a_n).n/2

  S_n = (4 + 7n – 3).n/2

  S_n = 7n²/2 + n/2
  Cada linha é uma progressão aritmética com razão r = 1 e, considerando-se a enésima coluna, o primeiro termo é 4 + (n – 1) e o enésimo termo é dado por:
  a_n = a₁ + (n – 1).r
  a_n = 4 + (n – 1) + (n – 1).7
  a_n = 8n – 4
  A soma dos n termos dessa coluna é
  

  S_n = (a₁ + a_n).n/2

  S_n = (4 + 7n – 1 + 8n – 4).n/2

  S_n = 9n²/2 – n/2
  A soma dos valores obtidos a partir da soma de todos os termos de cada coluna é uma PA que tem razão n, de forma que:
  S_n = (7n²/2 + n/2 + 9n²/2 – n/2).n/2 = 4n³
  Uma vez que a soma de todos os números é igual a 108 000, temos:
  4n³ = 108000
  n³ = 27000
  n = 30