ITA2020-1 Sejam a, b e c números reais, a ≠ 0, tais

ITA2020-1 Sejam a, b e c números reais, a ≠ 0, tais que a² + b² = c². Se a, b e c formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão k, então o produto P e a soma S de todos os possíveis valores para k são iguais a

• A (  ) P = 1 e S = 0

  B (  ) P = –1 e S = 1

  C (  ) P = –1 e S = –1

  D (  )  e S = 0

  E (  )  e S = 0
• Gabarito:D
  
  
  Resolução:
  Uma vez que a, b e c formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão k, b = a.k ou a = b/k e c = b.k e como a² + b² = c², temos

  (b/k)² + b² = (b.k)²

  b²/k² + b² = b².k²

  b²/k² + b².k²/k² = b².k⁴/k²

  Dividindo todos os fatores da expressão anterior por b²/k² obtemos

  1 + 1/k² = k⁴

  k⁴ – k² – 1 = 0

  fazendo-se k² = x na expressão anterior

  x² – x – 1 = 0

  cujas raízes são x = (1±√5)/2

  e, se k² = (1±√5)/2, k = ±(1+√5)/2.

  Assim, temos que o produto P e a soma S de todos os valores possíveis para k são iguais a

  P = +(1+√5)/2 . [–(1+√5)/2]

  P = – 1+√5)/2

  S = +(1+√5)/2 + [–(1+√5)/2]

  S = 0