Função do 1° grau: teoria e exercícios vestibular

Função do 1° grau: teoria e exercícios vestibular

 

Gráfico de uma função do 1° grau.

     O estudo das funções é importante, uma vez que elas podem ser aplicadas em diferentes circunstâncias: nas engenharias, no cálculo estatístico de animais em extinção, etc.

O significado de função é intrínseco à matemática, permanecendo o mesmo para qualquer tipo de função, seja ela do 1° ou do 2° grau, ou uma função exponencial ou logarítmica. Portanto, a função é utilizada para relacionar valores numéricos de uma determinada expressão algébrica de acordo com cada valor que a variável x assume.

Sendo assim, a função do 1° grau relacionará os valores numéricos obtidos de expressões algébricas do tipo (ax + b), constituindo, assim, a função f(x) = ax + b.

Note que para definir a função do 1° grau, basta haver uma expressão algébrica do 1° grau. Como dito anteriormente, o objetivo da função é relacionar para cada valor de x um valor para o f(x). Vejamos um exemplo para a função f(x)= x – 2.

x = 1, temos que f(1) = 1 – 2 = –1
x = 4, temos que f(4) = 4 – 2 = 2

Note que os valores numéricos mudam conforme o valor de x é alterado, sendo assim obtemos diversos pares ordenados, constituídos da seguinte maneira: (x, f(x)). Veja que para cada coordenada x, iremos obter uma coordenada f(x). Isso auxilia na construção de gráficos das funções.

Portanto, para que o estudo das funções do 1° grau seja realizado com sucesso, compreenda bem a construção de um gráfico e a manipulação algébrica das incógnitas e dos coeficientes.

Coeficiente Linear de uma Função do 1º Grau

As funções do tipo f(x) = y = ax + b, com a e b números reais e a ≠ 0, são consideradas do 1º grau. Ao serem representadas no plano cartesiano, constituem uma reta crescente ou decrescente. E no caso de a = 0, a função é chamada de constante.

Uma função possui pontos considerados essenciais para a composição correta de seu gráfico, e um desses pontos é dado pelo coeficiente linear da reta representado na função pela letra b, que indica por qual ponto numérico a reta intercepta o eixo das ordenadas (y).

Nas funções a seguir, observe o valor numérico do coeficiente linear e o gráfico representativo da função:

y = x + 1
b = 1

y = –x – 1
b = –1

 y = 2x + 4
b = 4

 

y = 2x – 4
b = – 4

1. Estudo dos Sinais

Definimos função como relação entre duas grandezas representadas por x e y. No caso de uma função do 1º grau, sua lei de formação possui a seguinte característica: y = ax + b ou f(x) = ax + b, onde os coeficientes a e b pertencem aos reais e diferem de zero. Esse modelo de função possui como representação gráfica a figura de uma reta, portanto, as relações entre os valores do domínio e da imagem crescem ou decrescem de acordo com o valor do coeficiente a. Se o coeficiente possui sinal positivo, a função é crescente, e caso ele tenha sinal negativo, a função é decrescente.

Função Crescente – a > 0

Na função crescente, à medida que os valores de x aumentam, os valores de y também aumentam; ou, à medida que os valores de x diminuem, os valores de y diminuem. Observe a tabela de pontos e o gráfico da função y = 2x – 1.

x	y
-2	-5
-1	-3
0	-1
1	1
2	3

Função Decrescente – a < 0

No caso da função decrescente, à medida que os valores de x aumentam, os valores de y diminuem; ou, à medida que os valores de x diminuem, os valores de y aumentam. Veja a tabela e o gráfico da função y = – 2x – 1.

x	y
-2	3
-1	1
0	-1
1	-3
2	-5

De acordo as análises feitas sobre as funções crescentes e decrescentes do 1º grau, podemos relacionar seus gráficos aos sinais. Veja:

Sinais da função do 1º grau crescente

Sinais da função do 1º grau decrescente

Exemplo:

Determine os sinais da função y = 3x + 9.

Fazendo y = 0 – cálculo da raiz da função

3x + 9 = 0
3x = –9
x = –9/3
x = – 3
A função possui o coeficiente a = 3, no caso maior que zero, portanto, a função é crescente.

2. Gráfico de Função do 1º grau

Toda função pode ser representada graficamente, e a função do 1º grau é formada por uma reta. Essa reta pode ser crescente ou decrescente, dependendo do sinal de a.

Quando a > 0

Isso significa que a será positivo. Por exemplo, dada a função: f(x) = 2x – 1 ou
y = 2x - 1, onde a = 2 e b = -1. Para construirmos seu gráfico devemos atribuir valores reais para x, para que possamos achar os valores correspondentes em y.

  x           y
- 2        - 5 
- 1        - 3
0          - 1 
1 / 2       0
 1           1 

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y também aumenta, então dizemos que quando a > 0 a função é crescente.

Com os valores de x e y formamos as coordenadas, que são pares ordenados que colocamos no plano cartesiano para formar a reta. Veja:

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x.



 

Quando a < 0 

Isso indica que a será negativo. Por exemplo, dada a função f(x) = - x + 1 ou
y = - x + 1, onde a = -1 e b = 1. Para construirmos seu gráfico devemos atribuir valores reais para x, para que possamos achar os valores correspondentes em y.

  x         y
-2        3
-1        2
0         1
1         0

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui, então dizemos que quando a < 0 a função é decrescente.

Com os valores de x e y formamos as coordenadas que são pares ordenados que colocamos no plano cartesiano para formar a reta. Veja:

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x.


Características de um gráfico de uma função do 1º grau.

• Com a > 0 o gráfico será crescente.

• Com a < 0 o gráfico será decrescente.

• O ângulo α formado com a reta e com o eixo x será agudo (menor que 90°) quando a > 0.

• O ângulo α formado com reta e com o eixo x será obtuso (maior que 90º) quando a < 0.

• Na construção de um gráfico de uma função do 1º grau basta indicar apenas dois valores pra x, pois o gráfico é uma reta e uma reta é formada por, no mínimo, 2 pontos.

• Apenas um ponto corta o eixo x, e esse ponto é a raiz da função.

• Apenas um ponto corta o eixo y, esse ponto é o valor de b.

3. Raiz de uma Função do 1º Grau

As funções do tipo y = ax + b ou f(x) = ax + b, onde a e b assumem valores reais e a ≠ 0 são consideradas funções do 1º grau. Esse modelo de função possui como representação geométrica a figura de uma reta, sendo a posição dessa reta dependente do valor do coeficiente a. Observe:

Função crescente: a > 0.

Função decrescente: a < 0.

Raiz da função

Calcular o valor da raiz da função é determinar o valor em que a reta cruza o eixo x, para isso consideremos o valor de y igual a zero, pois no momento em que a reta intersecta o eixo x, y = 0. Observe a representação gráfica a seguir:

Podemos estabelecer uma formação geral para o cálculo da raiz de uma função do 1º grau, basta criar uma generalização com base na própria lei de formação da função, considerando y = 0 e isolando o valor de x (raiz da função). Veja:

y = ax + b
y = 0
ax + b = 0
ax = –b
x = –b/a
Portanto, para calcularmos a raiz de uma função do 1º grau, basta utilizar a expressão x = x = –b/a.

Exemplo 1

Calcule a raiz da função y = 2x – 9, esse é o momento em que a reta da função intersecta o eixo x.

Resolução:
x = –b/a
x = –(–9)/2
x = 9/2
x = 4,5

Exemplo 2

Dada a função f(x) = –6x + 12, determine a raiz dessa função.

Resolução
x = –b/a
x = –12 / –6
x = 2

4. Sistema de inequação do 1º grau

Um sistema de inequação do 1º grau é formado por duas ou mais inequações, cada uma delas tem apenas uma variável sendo que essa deve ser a mesma em todas as outras inequações envolvidas.

Quando terminamos a resolução de um sistema de inequações chegamos a umconjunto solução, esse é composto por possíveis valores que x deverá assumir para que exista o sistema.

Para chegamos a esse conjunto solução devemos achar o conjunto solução de cada inequação envolvida no sistema, a partir daí fazermos a intersecção dessas soluções.
O conjunto formado pela intesecção chamamos de CONJUNTO SOLUÇÃO do sistema.

Veja alguns exemplos de sistema de inequação do 1º grau:



Vamos achar a solução de cada inequação.

4x + 4 ≤ 0
4x ≤ - 4
x ≤ - 4 : 4
x ≤ - 1


S1 = {x  R | x ≤ - 1}

Fazendo o cálculo da segunda inequação temos:
x + 1 ≤ 0
x ≤ - 1


A “bolinha” é fechada, pois o sinal da inequação é igual.

S2 = { x  R | x ≤ - 1}

Calculando agora o CONJUTO SOLUÇÃO da inequação temos:
S = S1 ∩ S2


Portanto:
S = { x  R | x ≤ - 1} ou S = ] - ∞ ; -1]



Em primeiro lugar devemos calcular o conjunto solução de cada inequação.
3x + 1 > 0
3x > -1
x > -1
       3


A “bolinha” é aberta, pois o sinal da inequação não é igual.

Calculamos agora o conjunto solução da outra solução.
5x – 4 ≤ 0
5x ≤ 4
x ≤ 4 
      5

Agora podemos calcular o CONJUNTO SOLUÇÃO da inequação, assim temos:
S = S1 ∩ S2



Portanto:

S = { x R | -1 < x ≤ 4} ou S = ] -1 ; 4]
                   3           5                  3   5




Devemos organizar o sistema antes de resolvê-lo, veja como fica:



Calculando o conjunto solução de cada inequação temos:
10x – 2 ≥ 4
10x ≥ 4 + 2
10x ≥ 6
x ≥ 6
     10
x ≥ 3
      5


6x + 8 < 2x + 10
6x -2x < 10 – 8
4x < 2
x < 2
      4

x < 1
      2


Podemos calcular o CONJUNTO SOLUÇÃO da inequação, assim temos:
S = S1 ∩ S2


Observando a solução veremos que não há intersecção, então o conjunto solução desse sistema inequação, será:

S = 

Exercícios Propostos

1) (UFRS) Tem-se (x+2) . (x - 1) < 0 se e somente se:

A) x <  1                        b) x > - 2             C) - 2 < x < 0        D) x # 2  e x = 1      E) - 2 < x < 1

2) (FGV) O gráfico da função f(x) = mx + n passa pelos pontos A(1, - 2) e B(4, 2). Podemos afirmar que:

A) m+n = - 2              B) m - n = - 2             C) m.n = 3/4             D) n = 5/2                E) m . n = - 1

3) (FGV) O número de soluções inteiras da inequação - 3< x + 2 _< 4 é:

A) 6                       B) 7                              C) 8                             D) 9                        E) 0

4) Dadas as funções f(x) = 3x - 1 e g(x) = x² + 2, calcular:

A) (g o f)(x)          B) (f o g)(x)         C) (f o f)(x)           D) (g o g)(x)

Resolução:

A) (g o f)(x) = g(f(x)) = g(3x-1) = (3x - 1)² + 2 = 9x² - 6x + 1 + 2 = 9x² - 6x + 3

B) (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x² + 2) = 3(x² + 2) - 1 = 3x² + 6 - 1 = 3x² + 5

C) (f o f)(x) = f(f(x)) = f(3x -1) = 3(3x - 1) - 1 = 9x - 3 - 1 = 9x - 4

D) (g o g) = g(g(x)) = g(x² + 2) = (x² + 2)² + 2 = x² + 4x² + 4 + 2 = x4 + +4x² + 4 + 2 = x4 + 4x² + 6

5) Dados f(x) = 2x - 3 e f(g(x)) = 6x + 11, calcular g(x).

6) (PUC-RJ) Seja P(x) = 2x² + x - 1. Então P(2/3) vale:

A)7/3               B) 5/9            C) 13/9            D) 14/11              E) 7/9

7) Determine o menor número inteiro que verifica a inequação: 3(4x - 2) - 2(5x - 3) _< 5(x + 1).

8) Sendo f(x) = - 2, g(x) = 3x + 1 e h(x) = 4, calcule x de modo que f(x) < g(x) _< h(x).

9) Determine a raiz da função f(x) =  20x - 10.

10) Quais são funções do 1º grau?
A) y =  x +  6               C) y = x²                     E) y = x² - 3                     G) y = x² - 5x + 6
B) y = 5x - 1                 D) y = 8x                    F) y = - 4x - 9                  H) y = 2 - 3x

11) Sendo f(x) = 2x + 5, determine f(x + h) - f(x).


Gabarito:  1.E  2.A  3.C  5.g(x) = 3x + 7  6.B  7. - 1  8. - 1 < x _< 1   9. 1/2  10. A, B, D, F, H   11.2h