Dízima Periódica: Questões resolvidas e teoria

Dízima Periódica: Questões resolvidas e teoria

        Definição

Entende-se por dízima periódica, como uma representação numérica, tanto decimal quanto fracionária, onde existe uma seqüência finita de algarismos que se repetem indefinidamente.

Exemplos:

7/3 = 2,333

         1/9 = 0,111111111…

        Classificação

As dízimas periódicas são divididas em:

Dízimas periódicas simples: Ocorre Quando o período aparece logo após à virgula.

Exemplos:

2/3 = 0,6666666……. Período: 6 

4/33 = 0,1212121212121212.... Período: 12

Dízimas periódicas compostas: Quando existe uma parte não repetitiva entre a vírgula e a parte periódica. 

Neste caso esta parte da dízima periódica não é considerada e exclui-se então esta parte da parte periódica.

Exemplos: 44/45 = 0,977777…. Período: 7 , Parte não periódica: 9

                 35/36 = 0,972222…. Período: 2 , Parte não periódica: 

          Formação de uma fração geratriz

Todos os números com uma expansão decimal infinita ou finita e periódica sempre são números racionais.

Neste caso, é fato que sempre existem frações capazes de representá-los. A estas frações chamamos de frações geratrizes.

         Geratriz de uma Dízima Periódica Simples

          Exemplo 1:

  ► 1 algarismo (se ocorre a repetição de um algarismo na dizima periódica simples, no exemplo foi o 5, o número 9 deve ser acrescido no denominador).

Exemplo 2:

0,595959... = 59/99 ► 2 algarismos (se ocorre a repetição de dois algarismos na dízima periódica simples, no exemplo foi o 59,  mais um número 9 deve ser acrescido no denominador ficando então, o 99).

Exemplo 3: 

0,557557557... = 557/999 ► 3 algarismos (se ocorre a repetição de três algarismos na dízima periódica simples, no exemplo foi o 557, mais um número 9 deve ser acrescido no denominador ficando então, o 999).

Geratriz de uma Dízima Periódica Composta

           Exemplo1:  0,27777…

Aqui, a dica é um pouco diferente: para cada algarismo do período ainda se coloca um algarismo 9 no denominador. Mas, agora, para cada algarismo do antiperíodo se coloca um algarismo zero, também no denominador.

No caso do numerador, faz-se a seguinte conta:
(parte inteira com antiperíodo e período) – (parte inteira com antiperíodo)

Assim:

     

  Exemplo 2: 2,4732121212… (o período tem 2 algarismos e o antiperíodo tem 3 algarismos)

Exercícios  resolvidos Dízimas Periódicas 

1) Qual a fração geratriz da dízima periódica 0,12343434...?      

X = 0,123434…

100x = 12,3434… (isolamos o período na parte decimal)

Multiplicamos por 100 (pois o período tem dois algarismos)

10.000x = 1234,3434…

10.000x – 100x = 1234,3434… – 12,3434…

9900x = 1222

x = 1222/9900

x = 611/4950

2) determine a fração geratriz da dízima periódica 0,23333...

Exercícios propostos Dízimas Periódicas

1) Qual a fração geratriz da dízima periódica 6,25252525?   

2) Determine a fração geratriz da dízima periódica 0,15383383383383383...       

3) Determine todos os valores possíveis de  para que a fração   se converta numa decimal exata com três casas decimais.       

4) A dízima periódica simples 0,024024… pode ser escrita como:

 a) 24/99        b) 24/999     c) 240/299     d) 24/1000      e) 240/1000

5) Dada a dízima periódica, diga de qual é a fração:

a) 0,44444...    

b) 0,12525...      

c) 0,54545...      

d) 0,04777...      

Gabarito: 

1) 6,2525252525....  2) 15368/99900   3)

4) 24/999   5) a) 4/9  b) 124/990  c) 54/99  d) 43/900