A Demonstre que as duas equações a seguir são identidades.

• A Demonstre que as duas equações a seguir são identidades.
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  1ª (x + y)² – 2xy = x² + y²

  2ª (x + y) · [(x + y)² – 3xy] = x³ + y³

  
  B Um cavalheiro, tentando pôr à prova a inteligência de um aritmético muito falante, propôs-lhe o seguinte problema: “Eu tenho, em ambas as mãos, 8 moedas no total. Mas, se eu conto o que tenho em cada mão, os quadrados do que tenho em cada mão, os cubos do que tenho em cada mão, a soma disso tudo é o número 194. Quantas moedas tenho em cada mão?”

  Mesmo que você resolva o problema por substituição e tentativa, faça o que é pedido no item C.

  
  C Expresse o problema mediante um sistema de duas equações com duas variáveis. Resolva o sistema de equações usando, se julgar conveniente, as identidades do item A.
• Gabarito:(Resolução oficial)
  
  A 
  1ª (x² + 2xy + y²) – 2xy = x² + y²
  2ª (x + y) · (x² + 2xy + y² – 3xy) = (x + y)(x² – xy + y² ) = x³ + y³
  
  B x = 5 e y = 3 , pois 5 + 3 + 5² + 3² + 5³ + 3³ = 194.
  
  C 
  x + y = 8
  x + y + x² + y² + x³ + y³ = 194
  x + y + (x + y)² – 2xy + (x + y)[(x + y)² – 3xy] = 194
  8 + 64 – 2xy + 8(64 – 3xy) = 194 → xy = 15
  Como x + y = 8 e xy =15, ele tem 5 moedas em uma das mãos e 3 moedas na outra.
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