ITA 2020: Um bloco de massa m sustentado por um par de molas idênticas,

QUESTÃO 03

ITA 2020:

Um bloco de massa m sustentado por um par de molas idênticas, paralelas e de constante elástica k, desce verticalmente com velocidade constante e de módulo v controlada por um motor, conforme ilustra a figura. Se o motor travar repentinamente, ocorrerá uma força de tração máxima no cabo com módulo igual a

a) $\large mg+\sqrt{\left(mg\right)^2+2kmv^2}$

b) $\large mg+\sqrt{\left(mg\right)^2+kmv^2}$

c) $\large mg+\sqrt{2kmv^2}$

d) $\large mg+\sqrt{4kmv^2}$

e) $\large mg+\sqrt{kmv^2}$

Pelo enunciado que afirma que a velocidade é constante, tem-se pelo equilíbrio, na situação inicial:

$\large 2\cdot k\cdot x=m\cdot g$

$\large x=\frac{m\cdot g}{2\cdot k}$

Ao travar-se o motor, inicia-se um problema de conservação de energia mecânica:

$\large E_c+E_{p,el}=E_{p,el}+E_{p,g}$

$\large \frac{m\cdot v^2}{2}+\frac{2\cdot K\cdot x^2}{2}=\frac{2\cdot K\cdot\left(x+y\right)^2}{2}-m\cdot g\cdot y$

Assim:

$\large \frac{m\cdot v^2}{2}+K\cdot x^2=K\cdot\left(x^2+2\cdot x\cdot y+y^2\right)-m\cdot g\cdot y$

$\large m\cdot g\cdot y+\frac{m\cdot v^2}{2}=K\cdot\left(2\cdot x\cdot y+y^2\right)$

Substituindo x:

$\large m\cdot g\cdot y+\frac{\left(m\cdot v^2\right)}{2}=K\cdot\left(\frac{2\cdot m\cdot g}{2\cdot K}\cdot y+y^2\right)$

$\large \frac{m\cdot v^2}{2}=K\cdot y^2$

$\large y=\sqrt{\frac{m\cdot v^2}{2\cdot K}}$

Na situação final:

$\large T=\left(2\cdot K\right)\cdot\left(x+y\right)$

$\large T=2\cdot K\cdot\left(\frac{m\cdot g}{2\cdot K}+\sqrt{\frac{m\cdot v^2}{2\cdot K}}\right)$

$\large \fbox{$T=m\cdot g+\sqrt{2\cdot m\cdot k\cdot v^2}$}$

Gabarito: C

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