ITA 2020 - Um satélite artificial viaja em direção a um planeta ao longo de uma trajetória parabólica.

ITA 2020 - Questão 05

Um satélite artificial viaja em direção a um planeta ao longo de uma trajetória parabólica. A uma distância d desse corpo celeste, propulsores são acionados de modo a, a partir daquele instante, mudar o módulo da velocidade do satélite de $\large v_p$ para $\large v_e$ e também a sua trajetória, que passa a ser elíptica em torno do planeta, com semieixo maior a. Sendo a massa do satélite desproporcionalmente menor que a do planeta, a razão $\large v_e/v_p$ é dada por:

a) $\large \sqrt{\frac{d}{a}-\frac{1}{2}}$

b) $\large \sqrt{\frac{d}{2a}}$

c) $\large \sqrt{1-\frac{d}{2a}}$

d) $\large \sqrt{1+\frac{d}{2a}}$

e) $\large \sqrt{1-\frac{d}{a}}$

Na órbita parabólica, o satélite tem energia mecânica total igual a zero. Portanto, pela equação de conservação de energia mecânica em órbitas parabólicas, temos que:

$\large \frac{-GMm}{d}+\frac{mv^2}{2}=0$

Logo:

$\large v_p=\sqrt{\frac{2GM}{d}}$

Para a órbita elíptica, temos:

$\large \frac{-GMm}{d}+\frac{mv^2}{2}=\frac{-GMm}{2a}$

Assim:

$\large v_e=\sqrt{2GM}\sqrt{\frac{1}{d}-\frac{1}{2a}}$

Portanto, a razão entre as velocidades é dada por:

$\large \frac{v_e}{v_p}=\sqrt{1-\frac{d}{2a}}$

Gabarito: C

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