Matemática – Prova ITA 2020

Matemática – Prova ITA 2020 – Resolvida

Prova ITA 2020

Sejam $\large x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$ números reais tais que $\large 2^{x_1}=4;3^{x_2}=5;4^{x_3}=6;5^{x_4}=7;6^{x_5}=8$ e $\large 7^{x_6}=9$ . Então, o produto $\large x_1x_2x_3x_4x_5x_6$ é igual a:

a) 6.

b) 8.

c) 10.

d) 12.

e) 14.

Resolução Comentada

Os números reais podem ser escritos como:

$\large 2^{x_1}=4\Rightarrow x_1=\log_2{4}$

$\large 3^{x_2}=5\Rightarrow x_2=\log_3{5}$

$\large 4^{x_3}=6\Rightarrow x_3=\log_4{6}$

$\large 5^{x_4}=7\Rightarrow x_4=\log_5{7}$

$\large 6^{x_5}=8\Rightarrow x_5=\log_6{8}$

$\large 7^{x_6}=9\Rightarrow x_6=\log_7{9}$

Assim, fazendo o produto entre eles, obtemos:

$\large x_1x_2x_3x_4x_5x_6=\log_2{4}\cdot\log_3{5}\cdot\log_4{6}\cdot\log_5{7}\cdot\log_6{8}\cdot\log_7{9}$

Podemos usar a seguinte propriedade dos logaritmos para simplificar a expressão:

$\large \log_b{a}\cdot\log_a{c}=\log_b{c}$

Reorganizando os termos da expressão:

$\large \log_2{4}\cdot\log_4{6}\cdot\log_3{5}\cdot\log_5{7}\cdot\log_7{9}\cdot\log_6{8}=$

$\large \log_2{6}\cdot\log_6{8}\cdot\log_3{7}\cdot\log_7{9}=$

$\large \log_2{8}\cdot\log_3{9}=\log_2{2^3}\cdot\log_3{3^2}=3\cdot2=6$

$\large \therefore x_1x_2x_3x_4x_5x_6=6$

Questão 42

Sejam $\large a$ , $\large b$ e $\large c$ números reais, $\large a\neq 0$ , tais que $\large a^2+b^2=c^2$ . Se $\large a$ , $\large b$ e $\large c$ formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão $\large k$ , então o produto $\large P$ e a soma $\large S$ de todos os possíveis valores para $\large k$ são iguais a:

a) $\large P=1$ e $\large S=0$

b) $\large P=-1$ e $\large S=1$

c) $\large P=-1$ e $\large S=-1$

d) $\large P=\frac{-\left(1+\sqrt5\right)}{2}$ e $\large S=0$

e) $\large P=\frac{\left(1+\sqrt5\right)^2}{4}$ e $\large S=0$

Resolução Comentada

Vamos reescrever a sequência $\large (a,\ b,\ c)$ como $\large \left(\frac{b}{k},\ b,\ bk\right)$ para simplificar as contas.

Assim, a partir do enunciado, podemos escrever:

$\large \left(\frac{b}{k}\right)^2+b^2={(bk)}^2$

Como $\large a\neq0$ , implica que $\large b\neq0$

Dessa forma, temos: $\large \left(\frac{1}{k}\right)^2+1=k^2$

$\large k^4-k^2-1=0$

Façamos $\large y=k^2$

$\large y^2-y-1=0$

$\large y=k^2=\frac{1+\sqrt5}{2}$ ou $\large \ y=k^2=\frac{1-\sqrt5}{2}$

Como k é um número real, temos que

$\large k^2=\frac{1+\sqrt5}{2}\Rightarrow k=\pm\sqrt{\frac{1+\sqrt5}{2}}$

Assim, $\large P=-\frac{1+\sqrt5}{2}$ e $\large S=0$

Questão 43

A parte real da soma infinita da progressão geométrica cujo termo geral $\large a_n$ é dado por

$\large a_n=\frac{\cos{n}+i\cdot s e n\ n}{2^n},n=1,\ 2,\ 3,\ \ldots$

é igual a

a) $\large \frac{-1+2\cos{1}}{5-4\cos{1}}$

b) $\large \frac{-2+4\cos{1}}{5-4\cos{1}}$

c) $\large \frac{4-2\cos{1}}{5-4\cos{1}}$

d) $\large \frac{1+2\cos{1}}{5-4\cos{1}}$

e) $\large \frac{2+4\cos{1}}{5-4\cos{1}}$

Resolução Comentada

Note que podemos escrever o termo geral da seguinte forma:

$\large a_n=\frac{cis\ n}{2^n}=\frac{\left(cis\ 1\right)^n}{2^n}\Rightarrow a_n=\left(\frac{cis\ 1}{2}\right)^n$

Usando o termo geral, temos a seguinte sequência:

$\large \left(\frac{cis\ 1}{2},\left(\frac{cis\ 1}{2}\right)^2,\left(\frac{cis\ 1}{2}\right)^3,\ \ldots,\left(\frac{cis\ 1}{2}\right)^n,\ldots\right)$

Logo, a razão da PG é:

$\large q=\frac{cis\ 1}{2}$

Como $\large \left|q\right|=\frac{1}{2}<1$ , temos que a soma infinita converge. Assim, usando a fórmula da soma infinita da PG, obtemos:

$\large S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{\frac{cis\ 1}{2}}{1-\frac{cis\ 1}{2}}=\frac{\frac{cis\ 1}{2}}{\frac{2-cis\ 1}{2}}=\frac{cis\ 1}{2-cis\ 1}$

$\large \Rightarrow S=\frac{\cos{1}+i\ sen\ 1}{2-\cos{1}-isen\ 1}$

Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, temos:

$\large S=\frac{\left(\cos{1}+i\ sen\ 1\right)}{\left(2-\cos{1}-isen\ 1\right)}\cdot\frac{\left(2-\cos{1}+isen\ 1\right)}{\left(2-\cos{1}+isen\ 1\right)}$

$\large S=\frac{\cos{1}\left(2-\cos{1}\right)+isen\ 1\cos{1}+i\ sen\ 1\left(2-\cos{1}\right)-sen^21}{\left(2-\cos{1}\right)^2+sen^21}$

$\large S=\frac{\cos{1}\left(2-\cos{1}\right)-sen^21+i\left[sen\ 1\cos{1}+isen\ 1\left(2-\cos{1}\right)\right]}{\left(2-\cos{1}\right)^2+sen^21}$

A parte real da soma infinita é dada por:

$\large S=\frac{\cos{1}\left(2-\cos{1}\right)-sen^21}{\left(2-\cos{1}\right)^2+sen^21}$

Simplificando a expressão:

$\large S=\frac{2\cos{1}-\cos^2{1}-sen^21}{4-4\cos{1}+\cos^2{1}+sen^21}=\frac{2\cos{1}-1}{4-4\cos{1}+1}$

$\large \therefore S=\frac{-1+2\cos{1}}{5-4\cos{1}}$

Questão 44

Duas curvas planas $\large c_{1}$ e $\large c_{2}$ são definidas pelas equações

$\large c_1:16x^2+9y^2-224x-72y+640=0,$

$\large c_2:x^2+y^2+4x-10y+13=0.$

Sejam $\large P$ e $\large Q$ os pontos de interseção de $\large c_1$ como o eixo $\large x$ e $\large R$ e $\large S$ os pontos de interseção de $\large c_{2}$ como o eixo $\large y$ . A área do quadrilátero convexo de vértices P, Q, R e S é igual a:

a) $\large 15+7\sqrt3$

b) $\large 15-7\sqrt3$

c) $\large 15+14\sqrt3$

d) $\large 15-14\sqrt3$

e) $\large 25+10\sqrt3$

Resolução Comentada

Inicialmente, devemos encontrar as coordenadas dos pontos P, Q, R, S. Como P e Q são os pontos de interseção de $\large c_{1}$ como eixo x, temos:

$\large P=\left(x_p,0\right)$ e $\large Q=\left(x_q,0\right)$

Fazendo $\large y=0$ na equação de $\large c_1$

$\large 16x^2-224x+640=0$

$\large \Rightarrow x^2-14x+40=0$

$\large \Rightarrow\left(x-10\right)\left(x-4\right)=0$

Portanto, as raízes são $\large x=10$ ou $\large x=4$ .

Assim, temos os pontos $\large P\left(4,\ 0\right)$ e $\large Q\left(10,\ 0\right)$ .

Resta encontrar R e S. Como esses pontos são a interseção de $\large c_2$ como o eixo y, temos $\large R=\left(0,\ y_R\right)$ e $\large S=\left(0,\ y_S\right)$ . Fazendo $\large x=0$ em $\large c_2$ :

$\large y^2-10y+13=0$

$\large \Rightarrow y=\frac{10\pm\sqrt{48}}{2}=\frac{10\pm4\sqrt3}{2}=5\pm2\sqrt3$

Assim, temos $\large R=\left(0,\ 5+2\sqrt3\right)$ e $\large S=\left(0,\ 5-2\sqrt3\right)$ .

Esboçando os pontos no plano cartesiano, temos a seguinte figura:

A área pedida é dada por:

$\large \left[PQRS\right]=\left[QRO\right]-\left[PSO\right]=$

$\large \frac{1}{2}\cdot10\cdot\left(5+2\sqrt3\right)-\frac{1}{2}\cdot4\cdot\left(5-2\sqrt3\right)$

$\large \left[PQRS\right]=25+10\sqrt3-10+4\sqrt3=$

$\large 15+14\sqrt3$

Questão 45

A cada aniversário, seu bolo tem uma quantidade de velas igual à sua idade. As velas são vendidas em pacotes com 12 unidades e todo ano é comprado apenas um novo pacote. As velas remanescentes são guardadas para os anos seguintes, desde o seu primeiro aniversário. Qual a sua idade, em anos, no primeiro ano em que as velas serão insuficientes?

a) 12.

b) 23.

c) 24.

d) 36.

e) 38.

Resolução Comentada

Veja que a quantidade de velas gastas a cada aniversário pode ser vista como uma progressão aritmética de razão 1.

Assim, o total de velas gastas até o n-ésimo aniversário é:

$\large V_T=\frac{\left(1+n\right)n}{2}$

Como todo ano um novo pacote de 12 velas é compradas, temos até o n-ésimo aniversário:

$\large 12n-\frac{\left(1+n\right)n}{2}$ velas remanescentes

O primeiro ano em que as velas serão insuficientes ocorrerá quando as velas remanescentes satisfazerem a condição:

$\large 12n-\frac{\left(1+n\right)n}{2}<0\Rightarrow12n<\frac{\left(1+n\right)n}{2}$

Sendo n a idade, temos que $\large n\neq0$ , logo:

$\large n=24$ .

Questão 46

Seja A um ponto externo a circunferência $\large \lambda$ de centro O e raio r. Considere uma reta passando por A e secante a $\large \lambda$ nos pontos C e D tal que o segmento AC é o externo a $\large \lambda$ e tem comprimento igual a r. Seja B o ponto de $\large \lambda$ tal que O pertence ao segmento AB. Se o ângulo $\large B\hat{A}D$ mede 10°, então a medida do ângulo $\large B\hat{O}D$ é igual a:

a) 25°.

b) 30°.

c) 35°.

d) 40°.

e) 45°.

Resolução Comentada

De acordo com o enunciado, temos a seguinte figura:

Queremos determinar $\large \alpha$ . Perceba que OCA é um triângulo isósceles, pois $\large CO=CA=r$ . Logo:

Como $\large \beta$ é ângulo externo ao $\large \Delta OCA$ , então $\large \beta=10\degree+10\degree=20\degree$ . Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo deve ser 180°, temos:

$\large C\hat{O}D+\beta+\beta=180\degree\Rightarrow$

$\large C\hat{O}D=180\degree-40\degree=140\degree$

Assim, $\large \alpha$ é dada por:

$\large \alpha+140\degree+10\degree=180\degree\therefore \alpha =30\degree$

Gabarito: B

Questão 47

Se $\large \alpha$ um número real satisfazendo $\large 0<a<\frac{\pi}{2}$ . Então, a soma de todos os valores de $\large x\in\left[0,\ 2\pi\right]$ que satisfazem a equação

$\large \cos{x}\ sen\left(a+x\right)=sen\ a$

é igual a

a) $\large 5\pi+2a$

b) $\large 5\pi+a$

c) $\large 5\pi$

d) $\large 5\pi-a$

e) $\large 5\pi-2a$

Resolução Comentada

Reescrevendo a equação, obtemos:

$\large \cos{x}\ sen\left(a+x\right)=sen\ a$

$\large \cos{x}\left(sena\cos{x}+senx\cos{a}\right)=sen\ a$

$\large sena\cos^2{x}+senx\cos{x}\cos{a}=sen\ a$

Note que

$\large sen\ 2x=2senx\cos{x}\Rightarrow senx\cos{x}=\frac{sen\ 2x}{2}$

$\large \cos{2x}=2\cos^2{x}-1\Rightarrow\cos^2{x}=\frac{1+\cos{2x}}{2}$

Substituindo na equação:

$\large sena\left(\frac{1+\cos{2x}}{2}\right)+\left(\frac{sen\ 2x}{2}\right)\cos{a}=sen\ a$

$\large \frac{sen\ a}{2}+\frac{sen\ a\cos{2x}}{2}+\frac{sen\ 2x\cos{a}}{2}=sen\ a$

$\large \frac{sen\ a\cos{2x}+sen\ 2x\cos{a}}{2}=\frac{sen\ a}{2}$

$\large sen\left(a+2x\right)=sen\ a$

Assim, temos as seguintes soluções:

$\large a+2x=a+2k\pi\Rightarrow x=k\pi,k\in\mathbb{Z}$

$\large a+2x=\pi-a+2k\pi\Rightarrow$

$\large 2x=\pi-2a+2k\pi\Rightarrow$

$\large x=\frac{\pi}{2}-a+k\pi,k\in\mathbb{Z}$

Para o intervalo $\large x\in\left[0,\ 2\pi\right]$ e lembrando que $\large x=k\pi\Rightarrow x\in\left\{0,\ \pi,\ 2\pi\right\}$

$\large x=\frac{\pi}{2}-a+k\pi\Rightarrow x\in\left\{\frac{\pi}{2}-a,\frac{3\pi}{2}-a\right\}$

Somando-se as soluções:

$\large S=0+\pi+2\pi+\frac{\pi}{2}-a+\frac{3\pi}{2}-a=5\pi-2a$

Gabarito: E

Questão 48

Considere o polinômio $\large p\left(x\right)=x^3-mx^2+x+5+n$ , sendo m,n números reais fixados. Sabe-se que toda raiz $\large z=a+bi$ , com $\large a,b\in\mathbb{R}$ , da equação $\large p\left(z\right)=0$ satisfaz a igualdade $\large a=mb^2+nb-1$ . Então, a soma dos quadrados das raízes de $\large p\left(z\right)=0$ é igual a:

a) 6.

b) 7.

c) 8.

d) 9.

e) 10.

Resolução Comentada

Pelo teorema fundamental da álgebra, o polinômio possui 3 raízes. Além disso, como os coeficientes do polinômio são reais, se tivermos uma raiz complexa, pelo teorema da raiz complexa conjugada, podemos afirmar que o conjugado dessa raiz também é raiz. Assim, temos as seguintes possibilidades:

I) duas raízes complexas e uma real

II) três raízes reais

Para o caso II de apenas raízes reais, temos da condição do enunciado, que toda raiz $\large z=a+bi$ satisfaz a igualdade $\large a=mb^2+nb-1$ , ou seja, as raízes reais implicam $\large b=0$ . Logo, todas as raízes são:

$\large z=a=m\left(0\right)^2+n\left(0\right)-1\Rightarrow z_1=z_2=z_3=-1$

Aplicando a relação de Girard para a soma do produto dois a dois:

$\large z_1z_2+z_1z_3+z_2z_3=1$

Mas, como $\large z_1=z_2=z_3=-1$ :

$\large z_1z_2+z_1z_3+z_2z_3=$

$\large \left(-1\right)\left(-1\right)+\left(-1\right)\left(-1\right)+\left(-1\right)\left(-1\right)=3$

Portanto, chegamos a um absurdo!

A única possibilidade é a I, duas raízes complexas conjugadas e uma real. Então, sejam as raízes, para $\large p,q,r\in\mathbb{R}$ :

$\large z_1=p+qi$

$\large z_2=p-qi$

$\large z_3=r$

Da condição do enunciado:

$\large a=mb^2+nb-1$

$\large z_1\Rightarrow p=mq^2+nq-1\ \ \left(eq.I\right)$

$\large z_2\Rightarrow p=mq^2-nq-1\ \ \left(eq.\ II\right)$

Da $\large eq.\ I$ e $\large eq.\ II$ , temos $\large nq=0$ , logo:

$\large p=mq^2-1$

$\large nq=0$

Se $\large q=0$ , teremos raízes reais, portanto, $\large n=0$ .

Como $\large z_3=r$ , temos $\large r=-1\therefore z_3=-1$

O polinômio é:

$\large p\left(x\right)=x^3-mx^2+x+5$

Aplicando Girard:

$\large z_1+z_2+z_3=m\Rightarrow$

$\large p+qi+p-qi-1=m\Rightarrow$

$\large \fbox{$2p=m+1\ \left(eq.\ III\right)$}$

$\large z_1z_2+z_1z_3+z_2z_3=1\Rightarrow$

$\large \left(p+qi\right)\left(p-qi\right)+\left(-1\right)\left(p+qi+p-qi\right)=1$

$\large \Rightarrow\fbox{$p^2+q^2=1+2p\ \left(eq.\ IV\right)$}$

$\large z_1z_2z_3=-5\Rightarrow\left(p+qi\right)\left(p-qi\right)\left(-1\right)=$

$\large -5\Rightarrow\fbox{$p^2+q^2=5\ \left(eq.\ V\right)$}$

Usando a $\large eq.V$ na $\large eq.IV$ :

$\large 5=1+2p\Rightarrow2p=4\therefore p=2$

Substituindo $\large p=2$ na $\large eq.IV$ :

$\large 4+q^2=1+4\Rightarrow q=\pm1$

Assim, a soma dos quadrados das raízes é:

$\large S=z_1^2+z_2^2+z_3^2=$

$\large \left(p+qi\right)^2+\left(p-qi\right)^2+\left(-1\right)^2$

$\large S=p^2+2pqi-q^2+p^2-2pqi-q^2+1=$

$\large 2p^2-2q^2+1=2\left(2\right)^2-2\left(-1\right)^2+1$

$\large S=7$

Gabarito: B

Questão 49

A expansão decimal do número $\large 100!=100\cdot99\cdot\cdot\cdot2\cdot1$ possui muitos algarismos iguais a zero. Contando da direita para a esquerda, a partir do dígito das unidades, o número de zeros, que esse número possui antes de um dígito não nulo aparecer, é igual a

a) 20.

b) 21.

c) 22.

d) 23.

e) 24.

Resolução Comentada

Seja a fatoração em primos, única pelo teorema fundamental da álgebra, de $\large 100!$ :

$\large 100!=2^a\cdot3^b\cdot5^c\cdot\ldots\cdot{97}^z$

Mas $\large 100!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot\ldots\cdot98\cdot99\cdot100$

Dado um número inteiro positivo N, a quantidade de zeros em seu final é igual ao número de vezes em que se pode dividir por 10 e continuar com um inteiro positivo. A cada divisão, diminui-se uma unidade dos expoentes de 2 e de 5. Logo, é possível dividir por $\large 10\ min\left \{ a,c \right \}$ vezes.

Acontece que em m!, para todo inteiro positivo m, temos sempre que o expoente de 5 é menor ou igual ao expoente de 2, isto é, $\large c\le a$ . Logo, $\large min\left \{ a,c \right \}=c$ . O problema agora é descobrir o expoente de 5 em 100!

Contemos as contribuições de cada $\large k\in \left \{ 1,2,..., 99,100 \right \}$ .

Cada múltiplo de 5 contribui com pelo menos um fator 5.

Cada múltiplo de $\large 5^2=25$ contribui com um fator 5 extra.

Não existem múltiplos de $\large 5^l$ com $\large l\geq3$ .

Temos $\large \left\lfloor\frac{100}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{100}{25}\right\rfloor=\ 20+\ 4=24$ zeros no fim de 100!.

Gabarito: E

Questão 50

Seja $\large p\left(x\right)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ um polinômio com coeficientes reais. Sabendo que:

I – $\large p\left(x\right)$ é divisível por $\large x^2-4$ ;

II – a soma das raízes de $\large p\left(x\right)$ é igual a 1;

III – o produto das raízes de $\large p\left(x\right)$ é igual a 3;

IV – $\large p\left(-1\right)=-\frac{15}{4}$

então, $\large p(1)$ é igual a

a) $\large -\frac{17}{2}$

b) $\large -\frac{19}{4}$

c) $\large -\frac{3}{2}$

d) $\large \frac{9}{4}$

e) $\large \frac{9}{2}$

Resolução Comentada

De cada afirmação, temos:

I) Como $\large p\left(x\right)$ é divisível por $\large x^2-4$ , temos:

$\large p\left(x\right)=q\left(x\right)\left(x^2-4\right)$

As raízes do polinômio $\large x^2-4$ são $\large x^2-4=0\Rightarrow x=\pm2$ , desse modo:

$\large p\left(2\right)=16a+8b+4c+2d+e=0$

$\large p\left(-2\right)=16a-8b+4c-2d+e=0$

II) Por Girard:

$\large x_1+x_2+x_3+x_4=-\frac{b}{a}=1\Rightarrow b=-a$

III) Por Girard:

$\large x_1x_2x_3x_4=\frac{e}{a}=3\Rightarrow e=3a$

IV) Substituindo $\large x=-1$ no polinômio

$\large p\left(-1\right)=a-b+c-d+e=-\frac{15}{4}$

Para $\large b=-a$ e $\large e=3$ , temos o seguinte sistema:

$\large \left\{\begin{matrix} 16a+8b+4c+2d+e=0\\ 16a-8b+4c-2d+e=0\\ a-b+c-d+e=-\frac{15}{4}\end{matrix}\right.\Rightarrow$

$\large \left\{\begin{matrix} 16a-8a+4c+2d+3a=0\\ 16a+8a+4c-2d+3a=0\\ a+a+c-d+3a=-\frac{15}{4}\end{matrix}\right.\Rightarrow$

$\large \left\{\begin{matrix} 11a+4c+2d=0\\ 27a+4c-2d=0\\ 5a+c-d=-\frac{15}{4}\end{matrix}\right.$

Multiplicando a última equação por 2:

$\large \left\{\begin{matrix} 11a+4c+2d=0\\ 27a+4c-2d=0\\ 10a+2c-2d=-\frac{15}{2}\end{matrix}\right.$

Somando a primeira equação com a segunda e a primeira com a terceira:

$\large \left\{\begin{matrix} 38a+8c=0\\ 21a+6c=-\frac{15}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow$

$\large \left\{\begin{matrix} 19a+4c=0\\ 7a+2c=-\frac{5}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow$

$\large \left\{\begin{matrix} 19a+4c=0\\ -14a-4c=5\end{matrix}\right.\Rightarrow$

$\large 5a=a\therefore a=1$

$\large \therefore b=-1$ e $\large e=3$

$\large 19a+4c=0\Rightarrow19+4c=0\therefore c=-\frac{19}{4}$

$\large 11a+4c+2d=0\Rightarrow$

$\large 11+4\left(-\frac{19}{4}\right)+2d=0\Rightarrow$

$\large -8+2d=0\therefore d=4$

Queremos $\large p(1)$ , logo:

$\large p\left(1\right)=a+b+c+d+e=$

$\large 1-1-\frac{19}{4}+4+3=$

$\large -\frac{19}{4}+7=\frac{-19+28}{4}=\frac{9}{4}$

Gabarito: D

Questão 51

Os pontos $\large B=\left(1,\ 1+6\sqrt2\right)$ e $\large C=\left(1+6\sqrt2,\ 1\right)$ são vértices do triângulo isósceles ABC de base BC, contido no primeiro quadrante. Se o raio da circunferência inscrita no triângulo mede 3, então as coordenadas do vértice A são:

a) $\large \left(7\sqrt2,\ 7\sqrt2\right)$

b) $\large \left(\sqrt2,\ \sqrt2\right)$

c) $\large \left(1+7\sqrt2,\ 1+7\sqrt2\right)$

d) $\large \left(1+\sqrt2,\ 1+\sqrt2\right)$

e) $\large \left(1+6\sqrt2,\ 1+6\sqrt2\right)$

Resolução Comentada

Como ABC é um triângulo isósceles, então sua altura em relação ao vértice A também é mediatriz em relação à base BC. Temos a seguinte figura:

M é ponto médio de BC, logo:

$\large M=\frac{B+C}{2}\Rightarrow M=$

$\large \left(\frac{1+1+6\sqrt2}{2};\frac{1+1+6\sqrt2}{2}\right)\Rightarrow$

$\large M=\left(1+3\sqrt2;1+3\sqrt2\right)$

Como $\large \overline{AM}$ é mediatriz, temos que ela é perpendicular à reta $\large \overline{BC}$ , vamos encontrar seu coeficiente angular:

$\large m_{BC}=\frac{y_B-y_C}{x_B-x_C}=\frac{1+6\sqrt2-1}{1-\left(1+6\sqrt2\right)}$

$\large =\frac{6\sqrt2}{-6\sqrt2}=-1$

$\large m_{BC}\cdot m_{AC}=-1\Rightarrow$

$\large \left(-1\right)\cdot m_{AC}=-1\therefore m_{AC}=1$

Como $\large x_M=y_M$ e $\large m_{AC}=1$ , temos que a reta que passa por M e A é y=x, ou seja, as coordenadas de A são da forma

$\large A=\left(a,a\right)$

Vamos resolver o problema por geometria plana. Sabemos que $\large r=3$ é o raio da circunferência inscrita ao triângulo. Consideremos a seguinte figura:

Do triângulo retângulo BCD:

$\large BC^2=\left(6\sqrt2\right)^2+\left(6\sqrt2\right)^2=72+72=144\therefore BC=12$

Podemos calcular a área do $\large \Delta ABC$ de duas formas:

$\large \left[ABC\right]=\frac{1}{2}\cdot b\cdot h=p\cdot r\Rightarrow$

$\large \frac{1}{2}\cdot12\cdot h=\frac{\left(l+l+12\right)}{2}\cdot3\Rightarrow$

$\large 4h=2l+12\Rightarrow\fbox{$2h=l+6$}$

Veja que pelo teorema de Pitágoras no $\large \Delta ABM$

$\large l^2=h^2+6^2$

Usando $\large 2h=l+6\Rightarrow l=2h-6$ :

$\large \left(2h-6\right)^2=h^2+6^2\Rightarrow4h^2-24h+36=$

$\large h^2+36\Rightarrow3h^2-24h=0$

$\large 3h\left(h-8\right)=0\therefore h=8$

Podemos usar a seguinte figura para calcular as coordenadas de A:

$\large a=1+3\sqrt2+8sen\ 45°=1+32+822=1+72$

$\large \therefore A=\left(1+7\sqrt2;1+7\sqrt2\right)$

Gabarito: C

Questão 52

Dado $a\in \mathbb{R}$ , defina $p=a+a^2$ e $q=a+a^3$ e considere as seguintes afirmações:

I. se p ou q é irracional, então a é irracional.
II. se p e q são racionais, então a é racional.
III. se q é irracional, então p é irracional.

É(são) VERDADEIRA(S)

a) apenas I.

b) apenas II.

c) apenas I e II.

d) apenas I e III.

e) todas.

Resolução Comentada

I. Temos da afirmação $\left(p\in\mathbb{I}\right)\vee\left(q\in\mathbb{I}\right)\rightarrow a\in\mathbb{I}$ . Usando sua contrapositiva:

$\sim\left(a\in\mathbb{I}\right)\rightarrow\sim\left[\left(p\in\mathbb{I}\right)\vee\left(q\in\mathbb{I}\right)\right]$

$\sim\left(a\in\mathbb{I}\right)\rightarrow\sim\left(p\in\mathbb{I}\right)\land\sim\left(q\in\mathbb{I}\right)$

$a\in\mathbb{Q}\rightarrow\left(p\in\mathbb{Q}\right)\land\left(q\in\mathbb{Q}\right)$

Assim, temos que verificar se $a\in\mathbb{Q}$ implica que $p\in\mathbb{Q}$ e $q\in\mathbb{Q}$ . Como $a\in\mathbb{Q}$ , temos $a^2\in\mathbb{Q}$ e $a^3\in\mathbb{Q}$ , $p=a+a^2\in\mathbb{Q}$ e $q=a+a^3\in\mathbb{Q}$ . Portanto, afirmação verdadeira.

II. Multiplicando-se p por a, temos:

$ap=a^2+a^3$

Podemos escrever $a^{2}$ e $a^{3}$ como:

$p=a+a^2\Rightarrow a^2=p-a$

$q=a+a^3\Rightarrow a^3=q-a$

Substituindo em ap:

$ap=p-a+q-a\Rightarrow ap+2a=$

$p+q\Rightarrow\left(p+2\right)a=p+q$

Para $p\neq-2$ :

$a=\frac{p+q}{p+2}$

Se $p,q\in\mathbb{Q}$ , temos que $\frac{p+q}{p+2}\in\mathbb{Q}$ , logo, $a\in\mathbb{Q}$ .

Para $p=-2$ :

$-2=a+a^2\Rightarrow a^2+a+2=0\Rightarrow$

$\Delta=1^2-4\cdot1\cdot2=1-8=-7<0$

Portanto, $a\notin\mathbb{R}$ , logo, não é possível.

Concluímos que a afirmação é verdadeira.

III. Tomemos o seguinte contraexemplo:

$a=\sqrt3-\frac{1}{2}$

$q=a\left(1+a^2\right)=\left(\sqrt3-\frac{1}{2}\right)\left(1+\left(\sqrt3-\frac{1}{2}\right)^2\right)$

$q=\left(\frac{2\sqrt3-1}{2}\right)\left(1+3+\frac{1}{4}-\sqrt3\right)=$

$\frac{\left(2\sqrt3-1\right)\left(17-4\sqrt3\right)}{8}=$

$\frac{34\sqrt3-17-24+4\sqrt3}{8}$

$q=\frac{38\sqrt3-41}{8}\in\mathbb{I}$

$p=a\left(1+a\right)=\left(\sqrt3-\frac{1}{2}\right)\left(1+\sqrt3-\frac{1}{2}\right)=$

$\left(\sqrt3-\frac{1}{2}\right)\left(\sqrt3+\frac{1}{2}\right)=3-\frac{1}{4}=\frac{11}{4}\in\mathbb{Q}$

Portanto, afirmação falsa.

Gabarito: C

Questão 53

Considere as seguintes afirmações:

I. Todo poliedro formado por 16 faces quadrangulares possui exatamente 18 vértices e 32 arestas.
II. Em todo poliedro convexo que possui 10 faces e 16 arestas, a soma dos ângulos de todas as faces é igual a 2160°.
III. Existe um poliedro com 15 faces, 22 arestas e 9 vértices.

É(são) VERDADEIRA (S)

a) apenas I.

b) apenas II.

c) apenas III.

d) apenas I e II.

e) apenas II e III.

Resolução Comentada

I. Cuidado quando a afirmação diz “todo poliedro”, pois podemos ter um poliedro côncavo que não possui esse número de vértices e arestas. Veja o contraexemplo:

Esse poliedro possui 16 faces quadrangulares, 32 arestas e 16 vértices. Portanto, afirmação falsa.

II. A afirmação diz que o poliedro convexo possui 10 faces e 16 arestas, logo F=10 e A=16. Pela relação de Euler, temos:

$V-A+F=2$

$V-16+10=2\therefore V=8$

A soma dos ângulos internos de um poliedro convexo é dada por:

$S_{i}=360\degree \cdot (V-2)$

$S_i=360\degree\cdot(8-2)=360\degree \cdot6=2160\degree$

Portanto, afirmação verdadeira.

III. Se existe um poliedro com tais características, devemos ter:

$2A=3F_3+4F_4+5F_5+\ldots$

Note que

$3F_3+4F_4+5F_5+\ldots$

$\geq3F_3+3F_4+3F_5+\ldots$

$=3\left(F_3+F_4+F_5+\ldots\right)=$

$3F\Rightarrow2A\geq3F$

Substituindo A=22 e F=15, temos:

$2\cdot22\geq3\cdot 15\Rightarrow44\geq45\ \left(Absurdo!\right)$

Portanto, afirmação falsa.

Gabarito: B

Questão 54

Considere as seguintes afirmações:

I. Sejam $\pi_1, \pi_2, \pi_3$ três planos distintos, e secantes dois a dois segundo as retas distintas, r, s e t. Se $r\cap s\neq\emptyset$ .
II. As projeções ortogonais de duas retas paralelas r e s sobre um plano $\pi$ são duas retas paralelas.
III. Para quaisquer retas r, s e t reversas duas a duas, existe uma reta u paralela à r e concorrente com s e com t.

É(são) VERDADEIRA(S)

a) apenas I.

b) apenas II.

c) apenas I e II.

d) apenas I e III.

e) nenhuma.

Resolução Comentada

I. Como r,s,t são as retas da interseção dos três planos distintos e secantes dois a dois, temos:

$r\in\pi_1\cap\pi_2$

$s\in\pi_1\cap\pi_3$

$t\in\pi_2\cap\pi_3$

Se $r\cap s\neq\emptyset$ e sabendo que as retas são distintas (não podem ser coincidentes), temos:

$r\cap s=\left\{P\right\}$

Logo:

$P\in r\Rightarrow P\in\pi_1\ e\ P\in\pi_2$

$P\in s\Rightarrow P\in\pi_1\ e\ P\in\pi_3$

$P\in\pi_2\ e\ P\in\pi_3\Rightarrow P\in t$

Portanto, $r\cap s\cap t=\left\{P\right\}\neq\emptyset$ . Verdadeira.

II – Podemos ter duas retas paralelas e perpendiculares a um mesmo plano, a projeção delas no plano será dois pontos. Portanto, falsa.

III. Vejamos o contra-exemplo:

Note que tomando-se os planos $\large \pi_1//\pi_2//\pi_3$ e as retas $\large r\in\pi_1,\ s\in\pi_2,\ t\in\pi_3$ , não paralelas entre elas, temos que a reta u paralela à r não pode ser concorrente simultaneamente à S e à T. Portanto, falta.

Gabarito: A

Questão 55

Considere o conjunto $\large M(n,k)$ de todas as matrizes quadradas ordem n x n, com exatamente k, elementos iguais a 1, e os demais iguais a 0 (zero). Escolhendo aleatoriamente matrizes $\large L\in M\left(3,\ 1\right)$ e $\large R\in M\left(4,\ 2\right)$ , a probabilidade de que $\large L^2=0$ e $\large R^2=0$ é igual a:

a) $\large \frac{1}{3}$

b) $\large \frac{1}{5}$

c) $\large \frac{4}{15}$

d) $\large \frac{1}{30}$

e) $\large \frac{29}{30}$

Resolução Comentada

I) Analisemos as matrizes $\large L\in M\left(3,\ 1\right)$ . Como n=3 e k=1, temos uma matriz de ordem 3×3 e um único elemento igual a 1. Temos, por exemplo:

$\large L=\left(\begin{matrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\\\end{matrix}\right)\Rightarrow L^2=\left(\begin{matrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{matrix}\right)$

$\large L=\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{matrix}\right)\Rightarrow L^2=\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{matrix}\right)$

Note que nesse caso, se o elemento 1 estiver na diagonal principal, $\large L^2\neq0$ . Portanto, das 9 posições possíveis, podemos escolher apenas 6 (excluindo-se a diagonal principal) para inserir o elemento 1. Assim, temos:

$\large P\left(L^2=0\right)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$

II) $\large R\in M\left(4,\ 2\right)$ , temos matrizes de ordem 4×4 e 2 elementos 1. Como analisamos no item I, se tivermos um elemento na diagonal principal, a matriz $\large R^2\neq0$ . Então, para o primeiro elemento 1, temos que ele pode escolher 12 das 16 posições possíveis (excluindo-se a diagonal principal), logo, essa probabilidade é

$\large \frac{12}{16}=\frac{3}{4}$

Para o segundo elemento 1, devemos analisar do seguinte modo. Seja R definido por $\large \left(r_{ij}\right)$ , assim, temos que os elementos de $\large R^2$ serão:

$\large \left(R^2\right)_{ij}=\sum_{k=1}^{4}\underbrace{r_{ik}}_{varia\ coluna}\cdot \underbrace{r_{ik}}_{varia\ linha}$

Então, para obtermos uma matriz nula desse produto, temos que o segundo 1 não pode ocupar a diagonal principal (4 casos) e também não pode ocupar as posições que fazem com que $\large r_{ik}\cdot r_{kj}=1$ , isso ocorre quando a linha do segundo elemento 1 é a coluna do primeiro (3 casos excluindo-se a diagonal principal) e quando a coluna do segundo elemento 1 é a linha do primeiro elemento (2 casos), logo, das 15 posições possíveis para o segundo elemento, temos:

$\large P\left(R^2=0\right)=\frac{3}{4}\cdot\frac{15-4-3-2}{15}=\frac{3}{4}\cdot\frac{6}{15}=\frac{3}{10}$

Portanto, a probabilidade pedida é:

$\large P\left(L^2=0\right)\cdot P\left(R^2=0\right)=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{10}=\frac{1}{5}$

Gabarito: B

FONTE: Estratégia Resolve

Dilatação Anômala da Água Exercícios

DILATAÇÃO ANÔMALA DA ÁGUA A água possui um comportamento anômalo em sua dilatação. Observe o diagrama volume x temperatura a seguir, no qual e mostrado esse comportamento incomum da água. Quando uma substância é aquecida, ela recebe energia de forma que suas moléculas ficam agitadas, passando a ocupar um maior volume, ou seja, sofre dilatação. O oposto ocorre quando uma substância é resfriada, pois ela perde energia e suas moléculas tendem a ficar bem próximas umas das outras, causando uma contração no volume. Isso faz com que, normalmente, a matéria no estado sólido ocupe menos volume do que quando está no estado líquido. Ao contrário do que acontece com a maioria das substâncias, a água possui um comportamento anômalo: quando é aquecida, entre os intervalos de 0 e 4º C, ela sofre contração e depois começa a dilatar-se, ou seja, quando a água está em seu estado sólido, ela tem volume maior do que no estado líquido nesse intervalo de temperatura. Esse com...

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