Unifesp 2020 No plano cartesiano de eixos ortogonais foi desenhada uma circunferência λ, de centro A e equação geral

• No plano cartesiano de eixos ortogonais foi desenhada uma circunferência λ, de centro A e equação geral x² + y²– 4x – 6y – 12 = 0. Os pontos B, C, D e E pertencem a λ, sendo  um diâmetro de λ. Sabe-se ainda que a medida do ângulo  é de 30º e que  e  são segmentos paralelos.

  

  a) Determine as medidas dos ângulos ,  e , indicadas na figura por α, β e ε.

  b) Calcule a área do pentágono côncavo ACDEB, destacado na figura em cinza.
• Gabarito:a) De acordo com a figura, AC = AD = raio da circunferência. Assim, o triângulo ACD é isósceles, ACD = 30º
  ACD + CDA + DAC = 180º
  30 + 30 + DAC = 180º
  DAC = 120º
  O ângulo ? é o suplementar de DAC, de forma que
  DAC + ? = 180º
  120 + ? = 180º
  ? = 60º
  Uma vez que os segmentos CD e BE são paralelos, os ângulos DBE e ? são alternos internos e, portanto, ? = 30º. Sendo BD um diâmetro de ?, DEC é um triângulo retângulo com ? = 90º.
  b) Desenvolvendo-se a equação geral da circunferência x² + y² – 4x – 6y – 12 = 0. Adicionando-se dois fatores de cada lado a essa equação de forma a se obter dois produtos notáveis, podemos obter a equação reduzida da circunferência:
  x² – 4x + 2² + y² – 6y + 3² = 12 + 2² + 3²
  (x – 2)² + (y² – 3)² = 12 + 4 + 9
  (x – 2)² + (y² – 3)² = 25
   (x – 2)² + (y² – 3)² = 5²
  Assim, essa circunferência tem centro A = (2, 3) e raio = 5. A área do pentágono côncavo ACDEB, destacado na figura em cinza, corresponde à soma das áreas dos triângulos CAD, BEA e DAE. CAD = BEA e DAE é um triângulo equilátero, de forma que
  A_ACDEB = A_CAD + A_BAE+ A_DAE
  A_ACDEB = 2.A_CAD+ A_DAE
  A_ACDEB = 2.(1/2 . 5 . 5 . sen 120º) + (5²?3 / 4)
  A_ACDEB = 25?3/2 + 25?3/4
  A_ACDEB = 50?3/4 + 25?3/4
  A_ACDEB = 75?3/4
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