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Unifesp 2020 No plano cartesiano de eixos ortogonais foi desenhada uma circunferência λ, de centro A e equação geral

  • No plano cartesiano de eixos ortogonais foi desenhada uma circunferência λ, de centro A e equação geral x2 + y2– 4x – 6y – 12 = 0. Os pontos B, C, D e E pertencem a λ, sendo  um diâmetro de λ. Sabe-se ainda que a medida do ângulo  é de 30º e que  e  são segmentos paralelos.
    Unifesp2020-M20
    a) Determine as medidas dos ângulos  e , indicadas na figura por α, β e ε.
    b) Calcule a área do pentágono côncavo ACDEB, destacado na figura em cinza.
  • Gabarito:a) De acordo com a figura, AC = AD = raio da circunferência. Assim, o triângulo ACD é isósceles, ACD = 30º
    ACD + CDA + DAC = 180º
    30 + 30 + DAC = 180º
    DAC = 120º
    O ângulo ? é o suplementar de DAC, de forma que
    DAC + ? = 180º
    120 + ? = 180º
    ? = 60º
    Uma vez que os segmentos CD e BE são paralelos, os ângulos DBE e ? são alternos internos e, portanto, ? = 30º. Sendo BD um diâmetro de ?, DEC é um triângulo retângulo com ? = 90º.
    b) Desenvolvendo-se a equação geral da circunferência x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0. Adicionando-se dois fatores de cada lado a essa equação de forma a se obter dois produtos notáveis, podemos obter a equação reduzida da circunferência:
    x2 – 4x + 22 + y2 – 6y + 32 = 12 + 22 + 32
    (x – 2)2 + (y2 – 3)2 = 12 + 4 + 9
    (x – 2)2 + (y2 – 3)2 = 25
     (x – 2)2 + (y2 – 3)2 = 52
    Assim, essa circunferência tem centro A = (2, 3) e raio = 5. A área do pentágono côncavo ACDEB, destacado na figura em cinza, corresponde à soma das áreas dos triângulos CAD, BEA e DAE. CAD = BEA e DAE é um triângulo equilátero, de forma que
    AACDEB = ACAD + ABAE+ ADAE
    AACDEB = 2.ACAD+ ADAE
    AACDEB = 2.(1/2 . 5 . 5 . sen 120º) + (52?3 / 4)
    AACDEB = 25?3/2 + 25?3/4
    AACDEB = 50?3/4 + 25?3/4
    AACDEB = 75?3/4

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